Question

【题目】设函数f（x）=x2eax ， a＞0．
（1）证明：函数y=f（x）在（0，+∞）上为增函数；
（2）若方程f（x）﹣1=0有且只有两个不同的实数根，求实数a的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：f（x）的定义域R，求导，f′（x）=2xeax+ax2eax=xeax（ax+2），

当x∈（0，+∞）时，a＞0，则eax＞0，则xeax（ax+2）＞0，

则f′（x）＞0，

∴函数y=f（x）在（0，+∞）上为增函数

（2）令f′（x）=0，记得x=﹣v或x=0，

x	（﹣∞，﹣ ）		（ ，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

则当x=﹣ 时，函数有极大值f（﹣ ）= ，

当x=0时，函数有极小值f（0）=0，

当x＜0时，f（x）＞0，x→﹣∞时，f（x）→0，x→+∞时，f（x）→+∞，

由f（x）﹣1=0，即f（x）=1有且只有两个不同的实数根，

即 =1，解得：a= ，（负根舍去）

实数a的值

【解析】（1）求导，由x∈（0，+∞）则f′（x）＞0，则函数y=f（x）在（0，+∞）上为增函数；（2）求导，f′（x）=0，根据函数的单调性即可求得f（x）极大值，由f（x）=1有且只有两个不同的实数根，即 =1，即可求得实数a的值．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．