Question

【题目】已知函数f（x）=（x2﹣x﹣ ）eax（a＞0）．
（1）求函数y=f（x）的最小值；
（2）若存在唯一实数x0 ， 使得f（x0）+ =0成立，求实数a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数y=f（x）的定义域为R，f′（x）=[ax2+（2﹣a）x﹣2]eax．

令f′（x）=0，得x=1，x=﹣ ＜0，

当x∈（﹣∞，﹣ ），（1，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣v，1）时，f′（x）＜0．

∴函数f（x）在（﹣∞，﹣ ），（1，+∞）上递增，在∈（﹣ ，1）递减．

注意到x＜﹣ ，x2﹣x﹣ ＞0，f（1）=﹣ ＜0．

∴函数y=f（x）的最小值为f（1）=﹣

（2）解：存在唯一实数x0，使得f（x0）+ =0成立函数y=f（x）图象与y=﹣ ＜（﹣ 0）有唯一交点，

结合（1）可得函数f（x）在（﹣∞，﹣ ），（1，+∞）上递增，在∈（﹣ ，1）递减．

注意到x＜﹣ ，x2﹣x﹣ ＞0，f（1）=﹣ ＜0．

∴当且仅当﹣ 时，存在唯一实数x0，使得f（x0）+ =0成立，

即a=ln3时，存在唯一实数x0，使得f（x0）+ =0成立

【解析】（1）函数y=f（x）的定义域为R，f′（x）=[ax2+（2﹣a）x﹣2]eax ． 利用导数可得函数f（x）在（﹣∞，﹣ ），（1，+∞）上递增，在∈（﹣ ，1）递减．注意到x＜﹣ ，x2﹣x﹣ ＞0，f（1）=﹣ ＜0．即函数y=f（x）的最小值为f（1）（2）存在唯一实数x0 ， 使得f（x0）+ =0成立函数y=f（x）图象与y=﹣ ＜（﹣ 0）有唯一交点，结合图象且仅当﹣ 时，存在唯一实数x0 ， 使得f（x0）+ =0成立，
即可求得实数a的值．
【考点精析】利用函数的最大(小)值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．