Question

【题目】已知函数，其中且，若， 在处切线的斜率为．

（1）求函数的解析式及其单调区间；

（2）若实数满足，且对于任意恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】(1）的单调递减区间为，单调递增区间为;（2）．

【解析】试题分析：（1）由导数几何意义，结合，列方程组并解得， ，根据导函数符号变化规律可得函数单调区间，（2）结合函数极值点分类讨论，确定所在单调区间，再根据函数单调性验证是否满足题意，从而求出实数的取值范围．

试题解析：(1）由于且，则，

当时， ，即，

故，即， ，

因此.

令，则，即在上单调递增，

由于，则，

故当时， ， ， 单调递减；

当时， ， ， 单调递增．

因此的单调递减区间为， 的单调递增区间为．

（2）当时，取，则，

由于在上单调递增，则，不合题意，故舍去；

当时，由抽屉原理可知，则，

若，由于在上单调递减，则成立；

若， ，则，

故，

由于，则， （当且仅当时取“=”）

故（当且仅当时取“=”）

由于，故上式无法取“=”，

因此恒成立， ．