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【题目】已知函数
.
（1）判断方程
的根个数；
（2）若
时，
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】（1）
；
【解析】
（1）首先设
，求导得到
，求出函数
的单调区间，根据单调区间得到
，又因为
时，
，
，从而得到方程
有两个根.
（2）首先设
，将题意转化为
，
恒成立.再讨论
的范围，利用导数得到函数
的单调性，确定
，由
即可得到实数的取值范围.
（1）设
，
.
.
因为，所以
.
令
，解得
.
当
，
，为减函数，
当
，
，为增函数.
所以
.
又因为时，，，
所以函数与
轴有个交点，即方程有2个根.
（2）设
将题意等价于，恒成立.
，
因为，所以
.
当
，即
时，
.
令
，解得
.
，
，为减函数，
，
，为增函数.
，不满足恒成立，舍去.
当
，即
时，令，解得或
.
①当
时，
，
，在
为增函数，
，不满足恒成立，舍去.
②当
时，即
.
，，为增函数，
，，为减函数，
，，为增函数，
又因为
，
，
所以
，不满足恒成立，舍去.
③当
时，即
.
，，为增函数，
，，为减函数，
，，为增函数，
又因为
，
，
因为时，恒成立，
所以
，解得
.
综上所述：实数的取值范围为.
