【题目】已知函数.

（1）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；

（2）当时，为函数在上的零点，求证：.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）先对函数求导，得到，根据题意，得到，设，，对其求导，用导数的方法求出最大值，即可得出结果；

（2）先当时，，得到，对求导，研究其在上的单调性，得到，，将化为，设，，对其求导，研究其单调性，求得，即可证明结论成立.

（1）.

当函数在上单调递减，

则在上恒成立，即.

设，，

则.

∵，所以.

∴当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减.

∴，故.

（2）因为时，，

当时，，故，

当时，可知，

令，，所以

∴在上单调递减.即在上单调递减.

又，，

∴存在唯一的，使得，

∴在单调递增，在单调递减，

又，，，

∴函数在上的零点，

即，

要证，即证.

设，，

则.

显然在上恒成立，所以在上单调递增.

∴，故原不等式得证.

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