Question

【题目】如图，已知双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ= ，且 |，则双曲线C的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵∠PAQ= ，AP=AQ， ∴△PAQ是等边三角形，
设圆A的半径为r，
过A作AB⊥PQ，垂足为B，则B为PQ的中点，
∴PB= r，AB= r，
∵OQ=3OP，∴OB=2OP=r，
∴tan∠AOB= = ，
又渐近线方程为y= ，
∴ = ，即b= a，
∴e= = = ，
解法二：由于双曲线的离心率e＞1，排除A，B，C，
故选D．

过A作AB⊥PQ，设圆A半径为r，三角形APQ是等边三角形，用r表示出OB，AB计算渐近线的斜率，从而得出a，b的关系得出离心率．