Question

【题目】某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生 （I）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率pi（i=1，2，3）；
（II）甲乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编程写出程序重复运行n次后，统计记录输出y的值为i（i=1，2，3）的频数，以下是甲乙所作频数统计表的部分数据．
甲的频数统计图（部分）

运行次数n	输出y的值为1的频数	输出y的值为2的频数	输出y的值为3的频数
30	14	6	10
…	…	…	…
2100	1027	376	697

乙的频数统计图（部分）

运行次数n	输出y的值为1的频数	输出y的值为2的频数	输出y的值为3的频数
30	12	11	7
…	…	…	…
2100	1051	696	353

当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编程序符合要求的可能系较大；
（III）将按程序摆图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

【答案】解：（I）变量x是在1，2，3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能， 当x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出的y值为1，故P1= = ；
当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出的y值为2，故P2= = ；
当x从6，12，18，24这4个数中产生时，输出的y值为3，故P3= = ；
故输出的y值为1的概率为 ，输出的y值为2的概率为 ，输出的y值为3的概率为 ；
（II）当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出的y值为i（i=1，2，3）的频率如下：

	输出y值为1的频率	输出y值为2的频率	输出y值为3的频率
甲
乙

比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大；
（III）随机变量ξ的可能取值为：0，1，2，3，P（ξ=0）= = ，P（ξ=1）= =
P（ξ=2）= = ，P（ξ=3）= = ，故ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P

所以所求的数学期望Eξ= =1
【解析】（I）变量x是在1，2，3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能，由程序框图可得y值为1，2，3对应的情况，由古典概型可得；（II）由题意可得当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出的y值为1，2，3时的频率，可得答案；（III）随机变量ξ的可能取值为：0，1，2，3，分别求其概率可得分布列和期望．
【考点精析】利用离散型随机变量及其分布列和程序框图对题目进行判断即可得到答案，需要熟知在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列；程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形;一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明．