Question

【题目】如图，经过村庄A有两条夹角60°为的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N（异于村庄A），要求PM=PN=MN=2（单位：千米）．记∠AMN=θ．
（1）将AN，AM用含θ的关系式表示出来；
（2）如何设计（即AN，AM为多长时），使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离AP最大）？

Answer 1

【答案】
（1）解：∠AMN=θ，在△AMN中，由正弦定理得： = =

所以AN= ，AM=

（2）解：AP2=AM2+MP2﹣2AMMPcos∠AMP

= sin2（θ+60°）+4﹣ sin（θ+60°）cos（θ+60°）

= [1﹣cos（2θ+120°）]﹣ sin（2θ+120°）+4

= [ sin（2θ+120°）+cos（2θ+120°）]+

= ﹣ sin（2θ+150°），θ∈（0°，120°）（其中利用诱导公式可知sin（120°﹣θ）=sin（θ+60°））

当且仅当2θ+150°=270°，即θ=60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小，此时AN=AM=2．

【解析】（1）根据正弦定理，即可θ表示出AN，AM；（2）设AP2=f（θ），根据三角函数的公式，以及辅助角公式即可化简f（θ）；根据三角函数的图象和性质，即可求出函数的最值．