Question

【题目】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE．
（1）证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；
（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为 ，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解法（1）因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，

由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，

所以BC⊥平面PCD．而DE平面PDC，所以BC⊥DE．

又因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC．

而PC∩CB=C，所以DE⊥平面PBC．而PB平面PBC，所以PB⊥DE．

又PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF．

由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，

即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．

（解法2）

以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系．设PD=DC=1，BC=λ，

则D（0，0，0），P（0，0，1），B（λ，1，0），C（0，1，0）， =（λ1，﹣1），点E是PC的中点，所以E（0， ， ）， =（0， ， ），

于是 =0，即PB⊥DE．

又已知EF⊥PB，而ED∩EF=E，所以PB⊥平面DEF．

因 =（0，1，﹣1）， =0，则DE⊥PC，所以DE⊥平面PBC．

由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，

即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．

（2）解法1）如图1，

在面BPC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ACBD的交线．

由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG．

又因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG．而PD∩PB=P，所以DG⊥平面PBD．

所以DG⊥DF，DG⊥DB

故∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，

设PD=DC=1，BC=λ，有BD= ，

在Rt△PDB中，由DF⊥PB，得∠DPB=∠FDB= ，

则 tan =tan∠DPF= = = ，解得 ．

所以 = =

故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为 时， = ．

（解法2）

由PD⊥底面ABCD，所以 =（0，0，1）是平面ACDB的一个法向量；

由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以 =（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一个法向量．

若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为 ，

则运用向量的数量积求解得出cos = = ，

解得 ．所以所以 = =

故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为 时， =

【解析】解法1）（1）直线与直线，直线与平面的垂直的转化证明得出PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF，即可判断DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，确定直角．（2）根据公理2得出DG是平面DEF与平面ACBD的交线．利用直线平面的垂直判断出DG⊥DF，DG⊥DB，根据平面角的定义得出∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，转化到直角三角形求解即可．解法2）（1）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，运用向量的数量积判断即可．2）由PD⊥底面ABCD，所以 =（0，0，1）是平面ACDB的一个法向量；由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以 =（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一个法向量．根据数量积得出夹角的余弦即可得出所求解的答案．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想才能正确解答此题．