Question

【题目】已知函数f（x）= 的图象过点A（0， ），B（3，3）
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在（2，+∞）上的单调性，并用单调性的定义加以证明；
（3）若m，n∈（2，+∞）且函数f（x）在[m，n]上的值域为[1，3]，求m+n的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）= 的图象过点A（0， ），B（3，3），

∴ ，解得：

∴f（x）=

（2）解：函数f（x）在（2，+∞）上单调递减，

证明：任取x2＞x1＞2，

则f（x1）﹣f（x2）=

∵x2＞x1＞2，

∴x2﹣x1＞0，x1﹣2＞0，x2﹣2＞0，

∴ ＞0，得f（x1）﹣f（x2）＞0，

∴f（x1）＞f（x2），

函数f（x）在（2，+∞）上是单调递减函数

（3）解：∵m，n∈（2，+∞），

∴函数f（x）在[m，n]上单调递减，

∴f（m）=3，f（n）=1

∴ =3， =1，

∴m=3，n=5，

∴m+n=8

【解析】（1）将A、B的坐标代入函数的解析式，求出a，b的值即可；（2）根据函数单调性的定义证明即可；（3）根据函数的单调性得到关于m、n的方程，求出m、n的值，从而求出m+n的值即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数单调性的判断方法的相关知识，掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较．