Question

【题目】如图，在各棱长均为2的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1ACC1⊥底面ABC，且∠A1AC= ，点O为AC的中点．

（1）求证：AC⊥平面A1OB；
（2）求二面角B1﹣AC﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连结A1C，∵AC=AA1，∠A1AC= ，AB=BC，点O为AC的中点，

∴A1O⊥AC，BO⊥AC，

∵A1O∩BO=O，

∴AC⊥平面A1OB．

（2）解：∵侧面A1ACC1⊥底面ABC，∴A1O⊥平面ABC，∴A1O⊥BO，

∴以O为原点，分别以OB、OC、OA1为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

则A（0，﹣1，0），B（ ，0，0），C（0，1，0），A1（0，0， ），B1（ ,1, ），

∴ =（0，1， ）， =（ ，2， ）（）， =（0，2，0），

设平面AB1C的法向量为 =（x，y，z），

则 ，取x=﹣1，得 =（﹣1，0，1），

又平面ABC的法向量为 =（0，0， ），

∴cos＜ ＞= = = ，

∴二面角B1﹣AC﹣B的余弦值为

【解析】（1）连结A1C，推导出A1O⊥AC，BO⊥AC，由此能证明AC⊥平面A1OB．（2）以O为原点，分别以OB、OC、OA1为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明二面角B1﹣AC﹣B的余弦值．
【考点精析】掌握直线与平面垂直的判定是解答本题的根本，需要知道一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．