Question

【题目】已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若对于任意x∈R，都有f（x﹣2）≤f（x），则实数a的取值范围是（ ）
A.[﹣ ， ]
B.[﹣ ， ]
C.[﹣ ， ]
D.[﹣ ， ]

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵当x≥0时，f（x）=|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2 ．
∴当0＜x≤a2时，f（x）=a2﹣x+2a2﹣x﹣3a2=﹣2x；
当a2＜x≤2a2时，f（x）=x﹣a2+2a2﹣x﹣3a2=﹣2a2；
当x＞2a2时，f（x）=x﹣a2+x﹣2a2﹣3a2=2x﹣6a2 ．
画出其图象如下：

由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，即可画出x＜0时的图象，与x＞0时的图象关于原点对称．
∵x∈R，f（x+2）≥f（x），f（x﹣2）≤f（x），
∴6a2≤2，
解得a∈[﹣ ， ]．
故选：D．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数奇偶性的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．