Question

【题目】已知函数， （， 为自然对数的底数）.

（1）试讨论函数的极值情况；

（2）证明：当且时，总有.

Answer 1

【答案】（1）见解析;（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）求定义域内的所有根；判断的根左右两侧值的符号即可得结果；（2）当时， ，研究函数的单调性，两次求导，可证明在内为单调递增函数，进而可得当时， ，即可得结果.

试题解析：（1）的定义域为，

.

①当时， ，故在内单调递减， 无极值；

②当时，令，得；令，得.

故在处取得极大值，且极大值为， 无极小值.

（2）证法一：当时， .

设函数 ，

则.记，

则.

当变化时， ， 的变化情况如下表：

由上表可知，

而 ，

由，知，

所以，

所以，即.

所以在内为单调递增函数.

所以当时， .

即当且时， .

所以当且时，总有.

证法二：当时， .

因为且，故只需证.

当时， 成立；

当时， ，即证.

令，则由，得.

在内， ；

在内， ，

所以.

故当时， 成立.

综上得原不等式成立.