Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，将曲线上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线．

（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）已知直线与曲线交于两点，点，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）

【解析】试题分析：（Ⅰ）利用将曲线的极坐标方程为化为直角坐标方程。进而可得结果；（Ⅱ）先将直线极坐标方程化为直角坐标方程，再写出其参数方程，代入曲线的直角坐标方程后，利用直线参数方程的几何意义求解即可.

试题解析：（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，

所以曲线的直角坐标方程为.

（Ⅱ）由直线的极坐标方程，得，

所以直线的直角坐标方程为，又点在直线上，

所以直线的参数方程为： ，

代入的直角坐标方程得，

设， 对应的参数分别为，

则，

所以