Question

【题目】已知（），定义.

（1）求函数的极值

（2）若，且存在使，求实数的取值范围；

（3）若，试讨论函数（）的零点个数.

Answer 1

【答案】(1) 的极大值为，极小值为；(2) ；(3)当时， 有两个零点；当时， 有一个零点；当时， 有无零点.

【解析】试题分析：

(1)结合函数的解析式求导有，利用导函数研究函数的极值可得的极大值为，极小值为；

(2)原问题转化为不等式在上有解，构造新函数（），据此讨论可得.

(3)结合（1）的结论有在上的最小值为，分类讨论：

①当时， 在上无零点.

②当时， 在上有一个零点.

③当时， 在上有两个零点.

试题解析：

（1）∵函数，

∴

令，得或，∵，∴，列表如下：

		极大值		极小值

∴的极大值为，极小值为.

（2），∵存在使，

∴在上有解，即在上有解，即不等式在上有解，

设（），∵对恒成立，

∴在上单调递减，∴当时， 的最大值为.

∴，即.

（3）由（1）知， 在上的最小值为，

①当，即时， 在上恒成立，

∴在上无零点.

②当，即时， ，又，

∴在上有一个零点.

③当，即时，设（），

∵，∴在上单调递减，

又， ，∴存在唯一的，使得.

Ⅰ.当时，

∵，∴且为减函数，

又， ，

∴在上有一个零点；

Ⅱ.当时

∵，∴且为增函数.

∵，∴在上有一个零点；

从而在上有两个零点.

综上所述，当时， 有两个零点；当时， 有一个零点；

当时， 有无零点.