Question

【题目】某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1 000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．
（1）请分析函数y= +1是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；
（2）若该公司采用函数模型y= 作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：对于函数模型y=f（x）= +1，

当x∈[10，1 000]时，f（x）为增函数，

f（x）max=f（1 000）= +1= +1＜9，所以f（x）≤9恒成立，

又因为当x∈[10，1 000]时f（x）﹣ =﹣ +1≤f（10）=﹣ ＜0，

所以f（x）≤ 恒成立，

故函数模型y= -3+1符合公司要求

（2）解：对于函数模型y=g（x）= ，即g（x）=10﹣ ，

当3a+20＞0，即a＞﹣ 时递增，

为使g（x）≤9对于x∈[10，1 000]恒成立，

即要g（1 000）≤9，3a+18≥1 000，即a≥ ，

为使g（x）≤ 对于x∈[10，1 000]恒成立，

即要 ≤5，即x2﹣48x+15a≥0恒成立，

即（x﹣24）2+15a﹣576≥0（x∈[10，1 000]）恒成立，又24∈[10，1 000]，

故只需15a﹣576≥0即可，

所以a≥ ．

综上，a≥ ，故最小的正整数a的值为328

【解析】（1）设奖励函数模型为y=f（x），根据“奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，说明在定义域上是增函数，且奖金不超过9万元，即f（x）≤9，同时奖金不超过投资收益的20%．即f（x）≤ ．（2）先将函数解析式进行化简，然后根据函数的单调性，以及使g（x）≤9对x∈[10，1000]恒成立以及使g（x）≤ 对x∈[10，1000]恒成立，建立不等式，求出相应的a的取值范围．