Question

【题目】已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0）的一系列对应值如表：

x	﹣
y	﹣1	1	3	1	﹣1	1	3

（1）根据表格提供的数据求函数f（x）的一个解析式；
（2）根据（1）的结果：
（ i）当x∈[0， ]时，方程f（3x）=m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围；
（ ii）若α，β是锐角三角形的两个内角，试比较f（sinα）与f（cosβ）的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：设f（x）的最小正周期为T，则由表格可得T= ﹣（﹣ ）=2π= ，得ω=1，

再根据 ，解得 ，

再根据五点法作图，可得令ω +φ= ，即 +φ= ，解得φ=﹣ ，

∴f（x）=2sin（x﹣ ）+1．

（2）解：（ i）f（3x）=2sin（3x﹣ ）+1，令t=3x﹣ ，∵x∈[0， ]，∴t∈[﹣ ， ]，

如图，s=sint 在[﹣ ， ]上有两个不同的解，则s∈[ ，1），

∴方程 f（3x）=2sin（3x﹣ ）+1=2s+1=m在x∈[0， ]时恰好有两个不同的解，则m∈[ +1，3），

即实数m的取值范围是[ +1，3）．

（ ii）由 得 ，

∴f（x）在 上单调递增，故在[0，1]上单调递增．

∵α、β是锐角三角形的两个内角，∴α+β＞ ， ＞α＞ ﹣β，

∴sinα＞sin（ ﹣β）=cosβ，且sinα，cosβ∈[0，1]，于是f（sinα）＞f（cosβ）．

【解析】（1）由函数的最值求出A、B，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（2）（ i）由题意可得y=2sin（3x﹣ ）+1的图象和直线y=m在[0， ]上恰好有两个不同的交点，数形结合求得m的范围；（ ii）由条件可得f（x）在 上单调递增，故在[0，1]上单调递增，且α、β是锐角三角形的两个内角，α+β＞ ，即 ＞α＞ ﹣β，由此可得f（sinα）与f（cosβ）的大小关系．
【考点精析】认真审题，首先需要了解五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象(描点法及其特例—五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）)．