Question

【题目】已知椭圆C的两个焦点坐标分别是F1（﹣ ，0）、F2（ ，0），并且经过点P（ ，﹣ ）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l与圆O：x2+y2=1相切，并与椭圆C交于不同的两点A、B．当 =λ，且满足 ≤λ≤ 时，求△AOB面积S的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：设椭圆方程为： =1（a＞b＞0），

由题意可得：c= ， + =1，a2=b2+c2，

联立解得：a=2，b=1．

∴椭圆C的方程为： +y2=1

（2）解：由题意可知：直线l的斜率不为零，

设直线l方程：x﹣my﹣n=0与圆O：x2+y2=1相切，

∴ =1，解得n2=m2+1．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

联立 ，

消去x整理得：（m2+4）y2+2mny+n2﹣4=0，

∴y1+y2=﹣ ，y1y2= ．

又∵|AB|= |y1﹣y2|，

∴ = ，

λ= =x1x2+y1y2=（my1+n）（my2+n）+y1y2=（m2+1）y1y2+mn（y1+y2）+n2= = ，

∵ ≤λ≤ ，令t=m2+1，

则λ= ，可得t∈[3，6]，

∴S△AOB=2 = ，

∵ ∈ ，∴（ +6）∈ ，

∴ ∈ ，

∴S△AOB∈

【解析】（1）设椭圆方程为： =1（a＞b＞0），由题意可得：c= ， + =1，a2=b2+c2 ， 联立解出即可得出．（2）由题意可知：直线l的斜率不为零，设直线l方程：x﹣my﹣n=0与圆O：x2+y2=1相切，可得 =1．设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），直线方程与椭圆方程联立可得：（m2+4）y2+2mny+n2﹣4=0，可得：|AB|= |y1﹣y2|，S△AOB= d|AB|，λ= =x1x2+y1y2=（my1+n）（my2+n）+y1y2=（m2+1）y1y2+mn（y1+y2）+n2 ， 由 ≤λ≤ ，令t=m2+1，则λ= ，可得t∈[3，6]，利用基本不等式的性质即可得出．