Question

【题目】已知函数g（x）满足g（x）=g′（1）ex﹣1﹣g（0）x+ ，且存在实数x0使得不等式2m﹣1≥g（x0）成立，则m的取值范围为（ ）
A.（﹣∞，2]
B.（﹣∞，3]
C.[1，+∞）
D.[0，+∞）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵g（x）=g′（1）ex﹣1﹣g（0）x+ ，
∴g′（x）=g′（1）ex﹣1﹣g（0）+x，
∴g′（1）=g′（1）﹣g（0）+1，解得：g（0）=1，
g（0）=g′（1）e﹣1 ， 解得：g′（1）=e，
∴g（x）=ex﹣x+ x2 ，
∴g′（x）=ex﹣1+x，g″（x）=ex+1＞0，
∴g′（x）在R递增，而g′（0）=0，
∴g′（x）＜0在（﹣∞，0）恒成立，g′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，
∴g（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，
∴g（x）min=g（0）=1，
若存在实数x0使得不等式2m﹣1≥g（x0）成立，
只需2m﹣1≥g（x）min=1即可，解得：m≥1，
故选：C．
分别求出g（0），g′（1），求出g（x）的表达式，求出g（x）的导数，得到函数的单调区间，求出g（x）的最小值，问题转化为只需2m﹣1≥g（x）min=1即可，求出m的范围即可．