Question

【题目】数列{an}满足：a1= ，前n项和Sn= an ，
（1）写出a2 ， a3 ， a4；
（2）猜出an的表达式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵ ，

∴令n=2， ，即a1+a2=3a2．∴ ．

令n=3，得 ，即a1+a2+a3=6a3，∴ ．

令n=4，得 ，a1+a2+a3+a4=10a4，∴

（2）

解：猜想 ，下面用数学归纳法给出证明．

①当n=1时， 结论成立．

②假设当n=k时，结论成立，即 ，

则当n=k+1时，

= ，

即 ．

∴

∴ ．

∴当n=k+1时结论成立．

由①②可知，对一切n∈N+都有 成立

【解析】（1）根据 ，利用递推公式，分别令n=2，3，4．求出a1 ， a2 ， a3 ， a4；（2）根据（1）求出的数列的前四项，从而总结出规律猜出an ， 然后利用数学归纳法进行证明即得．
【考点精析】关于本题考查的数列的通项公式，需要了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能得出正确答案．