Question

【题目】【2018湖南（长郡中学、株洲市第二中学）、江西（九江一中）等十四校高三第一次联考】已知函数（其中且为常数， 为自然对数的底数， ）．

（Ⅰ）若函数的极值点只有一个，求实数的取值范围；

（Ⅱ）当时，若（其中）恒成立，求的最小值的最大值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 或；(Ⅱ) ．

【解析】试题分析：

(Ⅰ)由题意可知函数的定义域为，其导数为.由或，设，则，分类讨论可得当或时， 只有一个极值点.很明显当时， 只有一个极值点.当时， 有、、三个极值点.则当或时，函数只有一个极值点.

(Ⅱ)依题意得，令，则，分类讨论：当时， ，与恒成立矛盾；当时，只需成立，则，问题转化为求解的最小值，计算可得，即的最小值的最大值为.

试题解析：

(Ⅰ)函数的定义域为，其导数为

.

由或，

设，∵，∴当时， ；当时， .

即在区间上递增，在区间上递减，∴，

又当时， ，当时， 且恒成立.

所以，当或时，方程无根，函数只有一个极值点.

当时，方程的根也为，此时的因式恒成立，

故函数只有一个极值点.

当时，方程有两个根、且， ，∴函数在区间单调递减； 单调递增； 单调递减； 单调递增，此时函数有、、三个极值点.

综上所述，当或时，函数只有一个极值点.

(Ⅱ)依题意得，令，则对，都有成立.

因为，所以当时，函数在上单调递增，

注意到，∴若，有成立，这与恒成立矛盾；

当时，因为在上为减函数，且，所以函数在区间上单调递增，在上单调递减，∴，

若对，都有成立，则只需成立，

，

当时，则的最小值，∵，∴函数在上递增，在上递减，∴，即的最小值的最大值为；

综上所述， 的最小值的最大值为.