Question

【题目】已知点在椭圆上， 为椭圆的右焦点， 分别为椭圆的左，右两个顶点.若过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，且线段的斜率之积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知直线与相交于点，证明： 三点共线.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】试题分析：

（1）根据点在椭圆上和的斜率之积为可得到关于的方程组，解方程组后可得椭圆的方程．（2）由（1）可得轴，要证三点共线，只需证轴，即证，即证直线与交点的横坐标为1．根据题意可得直线， ，故只需证当x=1时， 成立即可，结合由直线的方程和椭圆方程联立消元后得到的二次方程可得显然成立，故得所证结论成立．

试题解析：

（1）∵点在椭圆，

∴①．

设，由线段的斜率之积为得，

，

∴②，

由①②解得， ， .

所以椭圆的方程为.

（2）由（1）可得轴，要证三点共线，只需证轴，即证.

由消去y整理得，

∵直线与椭圆交于两点，

∴

设， ，

则， （*），

因为直线， ，

即证： ，

即证 .

即证.

将（*）代入上式可得，

整理得.

此式明显成立，故原命题得证.

所以三点共线.