Question

【题目】已知椭圆 上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值是最小值的倍，且点在椭圆上.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点任作一条直线，与椭圆交于不同于点的、两点，与直线交于点，记直线、、的斜率分别为、、.试探究与的关系，并证明你的结论.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)答案见解析.

【解析】试题分析：

(Ⅰ)椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值和最小值分别为，，据此可得，设椭圆的方程为：，结合点在椭圆上可得椭圆的方程为.

(Ⅱ)很明显直线的斜率存在，设直线的方程为：即，，为与椭圆的两个交点.联立直线方程与椭圆方程有.结合韦达定理可得.由可得，则.综上可知.

试题解析：

(Ⅰ)因为椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值和最小值分别为，，所以依题意有：，

∵，∴.故可设椭圆的方程为：，

因为点在椭圆上，所以将其代入椭圆的方程得.

∴椭圆的方程为.

(Ⅱ)依题意，直线不可能与轴垂直，故可设直线的方程为：即，

，为与椭圆的两个交点.

将代入方程化简得：.

所以，.

.

又由 ，解得，，

即点的坐标为，所以.

因此，与的关系为：.