Question

【题目】已知数列{an}满足：an≠0，a1= ，an﹣an+1=2anan+1 ． （n∈N*）．
（1）求证：{ }是等差数列，并求出an；
（2）证明：a1a2+a2a3+…+anan+1＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：a1= ，an﹣an+1=2anan+1．可得

﹣ =2，则{ }是首项为3，公差为2的等差数列，

= +2（n﹣1）=3+2（n﹣1）=2n+1，

即有an=

（2）证明：a1a2+a2a3+…+anan+1= + +…+

= （ ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）

= （ ﹣ ）= ﹣ ＜

【解析】（1）两边除以anan+1 ， 由等差数列的定义和通项公式，即可得证，由等差数列的通项公式即可得到；（2）运用数列的求和方法：裂项相消求和，运用不等式的性质，即可得证．
【考点精析】认真审题，首先需要了解数列的前n项和(数列{an}的前n项和sn与通项an的关系)，还要掌握数列的通项公式(如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式)的相关知识才是答题的关键．