Question

【题目】在区间[﹣1，1]上任取两个数a，b，在下列条件时，分别求不等式x2+2ax+b2≥0恒成立时的概率：
（1）当a，b均为整数时；
（2）当a，b均为实数时．

Answer 1

【答案】
（1）解：设事件A为“x2+2ax+b2≥0恒成立”．

x2+2ax+b2≥0恒成立的充要条件为4a2﹣4b2≤0，即a2≤b2

基本事件共9个：（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（0，﹣1），（0，0），（0，1），（1，﹣1），（1，0），（1，1）．其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．

事件A中包含7个基本事件：（﹣1，﹣1），（﹣1，1），（0，﹣1），（0，0），（0，1），（1，﹣1），（（1，1）．

事件A发生的概率为P（A）=

（2）解：设事件A为“x2+2ax+b2≥0恒成立”．

x2+2ax+b2≥0恒成立的充要条件为4a2﹣4b2≤0，即a2≤b2

试验的全部结果所构成的区域为{（a，b）|﹣1≤a≤1，﹣1≤b≤1}．

构成事件A的区域为{（a，b）|﹣1≤a≤1，﹣1≤b≤1，a2≤b2}．

如图，

∴当a，b均为实数时，不等式x2+2ax+b2≥0恒成立的概率为

【解析】（1）x2+2ax+b2≥0恒成立的充要条件为4a2﹣4b2≤0，即a2≤b2 ， 用列举法求出基本事件数，然后直接利用古典概型概率计算公式求解；（2）由题意求出点（a，b）所构成的正方形的面积，再由线性规划知识求出满足a2≤b2的区域面积，由测度比是面积比求概率．
【考点精析】解答此题的关键在于理解几何概型的相关知识，掌握几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．