Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆P： （a＞b＞0）的右焦点，已知A（0，﹣2）与椭圆左顶点关于直线y=x对称，且直线AF的斜率为 ，
（1）求椭圆P的方程；
（2）过点Q（﹣1，0）的直线l交椭圆P于M、N两点，交直线x=﹣4于点E， = ， = ，证明：λ+μ为定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：设椭圆的右焦点为F（c，0），左顶点为（﹣a，0），

由点A（0，﹣2）与椭圆左顶点关于直线y=x对称，可得﹣ =﹣1，解得a=2，

由直线AF的斜率为 ，可得 = ，可得c= ，

即有b= =1，

则椭圆的方程为 +y2=1；

（2）解：依题意，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=k（x+1），

设M（x1，y1）、N（x2，y2）、E（﹣4，y3），

则M、N两点坐标满足方程组 ，

消去y并整理，得（1+4k2）x2+8k2x+4k2﹣4=0，

∴x1+x2=﹣ ①，x1x2= ②，

∵ = ，∴（﹣1﹣x1，﹣y1）=λ（x2+1，y2），

∴﹣1﹣x1=λ（x2+1），

∴λ= ，

令x=﹣4，可得y3=﹣3k，

由 = ，即（﹣4﹣x1，﹣3k﹣y1）=μ（x2+4，y2+3k），

可得μ= ．

∴λ+μ= + = ，

将①②代入上式可得λ+μ=0．

故λ+μ为定值0．

【解析】（1）由对称和直线的斜率公式，推导出a=2，c= ，由此能求出椭圆的方程；（2）依题意，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=k（x+1）．设M（x1 ， y1）、N（x2 ， y2）、E（﹣4，y3），则M、N两点坐标方程组 ，消去y并整理，得（1+4k2）x2+8k2x+4k2﹣4=0，然后利用根与系数的关系以及向量的共线的坐标表示，化简整理进行求解可得．