《2025年卓远暑假生活河北美术出版社八年级数学》

2. 如图6,在正方形$ABCD$中,$E为BC$的中点,$F是CD$上一点,且$FC= \frac {1}{4}DC$。求证：$AE⊥EF$。
证明：连接AF，设FC=a，则DC=DA=AB=BC=4a，$ \therefore DF = $3a，$ \because E $ 是 $ BC $ 的中点，$ \therefore CE = EB = $2a。由勾股定理，得 $ AF = $5a，$ EF = $$\sqrt{5}a$，$ AE = $$2\sqrt{5}a$，从而有$(\sqrt{5}a)^2+(2\sqrt{5}a)^2=(5a)^2$，即$EF^2+AE^2=AF^2$，$ \therefore \triangle A E F $ 为直角三角形，斜边为AF，故 $ \angle A E F = 90 ^ { \circ } $，即 $ A E \perp E F $。

答案： 证明：连接 $ AF $，设 $ FC = a $，则 $ DC = DA = AB = BC = 4 a $，$ \therefore DF = 3 a $，$ \because E $ 是 $ BC $ 的中点，$ \therefore CE = EB = 2 a $。由勾股定理，得 $ AF = 5 a $，$ EF = \sqrt { 5 } a $，$ AE = 2 \sqrt { 5 } a $，从而有 $ ( \sqrt { 5 } a ) ^ { 2 } + ( 2 \sqrt { 5 } a ) ^ { 2 } = ( 5 a ) ^ { 2 } $，即 $ E F ^ { 2 } + A E ^ { 2 } = A F ^ { 2 } $，$ \therefore \triangle A E F $ 为直角三角形，斜边为 $ AF $，故 $ \angle A E F = 90 ^ { \circ } $，即 $ A E \perp E F $。

3. 现用4个全等的直角三角形拼成如图7所示的“弦图”。在$Rt\triangle ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ }$,若$AC= b$,$BC= a$,$AB= c$,请你利用这个图形解决下列问题：
(1)试说明$a^{2}+b^{2}= c^{2}$；
解：$ \because $ 大正方形面积为 $ c ^ { 2 } $，直角三角形面积为 $ \frac { 1 } { 2 } a b $，小正方形面积为 $ ( b - a ) ^ { 2 } $，$ \therefore c ^ { 2 } = 4 × \frac { 1 } { 2 } a b + ( b - a ) ^ { 2 } = 2 a b + a ^ { 2 } - 2 a b + b ^ { 2 } $，即 $ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = c ^ { 2 } $。
(2)如果大正方形的面积是6,小正方形的面积是2,求$(a+b)^{2}$的值。
解：由题图可知，$ ( b - a ) ^ { 2 } = 2 $，$ 4 × \frac { 1 } { 2 } a b = 6 - 2 = 4 $，$ \therefore a b = 2 $，$ \therefore ( a + b ) ^ { 2 } = ( b - a ) ^ { 2 } + 4 a b = $10。

答案： 解：
(1)$ \because $ 大正方形面积为 $ c ^ { 2 } $，直角三角形面积为 $ \frac { 1 } { 2 } a b $，小正方形面积为 $ ( b - a ) ^ { 2 } $，$ \therefore c ^ { 2 } = 4 × \frac { 1 } { 2 } a b + ( b - a ) ^ { 2 } = 2 a b + a ^ { 2 } - 2 a b + b ^ { 2 } $，即 $ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = c ^ { 2 } $。
(2)由题图可知，$ ( b - a ) ^ { 2 } = 2 $，$ 4 × \frac { 1 } { 2 } a b = 6 - 2 = 4 $，$ \therefore a b = 2 $，$ \therefore ( a + b ) ^ { 2 } = ( b - a ) ^ { 2 } + 4 a b = 10 $。