《2025年阳光假日暑假三年级数学北师大版》

当世界杯进行得如火如荼的时候,大家有没有发现世界杯中有许多数学问题呢? 不信,你往下看。
在世界杯小组赛上,每四个队进行单循环比赛,每场比赛胜队得3分,负队得0分,平局两队各得1分。小组赛结束后,总积分高的两队出线,进入下一轮比赛。如果总积分相同,还要按进一步的规则排序。
问题一:
一个队为了晋级下一轮,至少要积几分才能保证必然出线?
四个队单循环比赛要赛6场,每场比赛最多产生3分,6场比赛最多产生18分。
若一个队积6分,则剩下12分,可能有另外两个队也各得6分,这样就要按进一步的规则排序,因此该队有可能不出线。
若一个队积7分,则剩下11分,另外三个队中不可能再有两个队积分等于或者超过7分,这样该队必然出线。因此一个队为了晋级下一轮,至少要积7分才能保证必然出线。
问题二:
一个队只积3分,该队有可能出线吗?
有可能。若6场比赛都是平局,则四个队都只得了3分,按进一步的规则排序,该队如果处于前两位,就有可能出线。
还有一些情况,大家能想出来吗?
想一想:
1. 一个队只积5分,该队有可能出线吗? 为什么?
2. 一个队只积2分,该队有可能出线吗? 为什么?

答案： 【解析】：
1. 四个队单循环比赛要赛$C_{4}^2=\frac{4!}{2!(4 - 2)!}=\frac{4\times3}{2\times1}=6$场，每场比赛最多产生$3$分，$6$场比赛最多产生$18$分。
若一个队积$5$分，说明该队$1$胜$2$平$0$负。此时剩下$18 - 5 = 13$分由另外三个队分配。
可能出现一种情况，比如另外三个队中一个队$0$胜$0$平$3$负得$0$分，另外两个队之间的比赛都是平局，且这两个队与积$5$分的队比赛也都是平局，那么这两个队各得$2$分，这样积$5$分的队就可以出线。
2. 若一个队积$2$分，说明该队$0$胜$2$平$1$负。
假设四个队分别为$A$、$B$、$C$、$D$，$A$队积$2$分（$0$胜$2$平$1$负）。可以构造一种情况，$A$与$B$、$C$都打平，输给$D$；$B$与$A$、$C$打平，输给$D$；$C$与$A$、$B$打平，输给$D$；$D$胜$A$、$B$、$C$。这样$D$队积$9$分，$A$、$B$、$C$三队都积$2$分，按照进一步的规则排序，积$2$分的队有可能处于前两位而出线。
【答案】：
1. 有可能。一个队积$5$分，说明该队$1$胜$2$平$0$负，剩下$13$分由另外三个队分配，可能出现另外三个队中一个队全负得$0$分，另外两个队之间比赛都是平局且与积$5$分的队比赛也都是平局，各得$2$分的情况，此时积$5$分的队可以出线。
2. 有可能。一个队积$2$分，说明该队$0$胜$2$平$1$负，可构造一种情况使得四个队中一个队积$9$分，另外三个队都积$2$分，按照进一步规则排序，积$2$分的队有可能处于前两位而出线。