《2025年天利38套常考基础题高中数学》

1.将一个直角三角形绕其一直角边所在直线旋转一周,所得的几何体为　　　　　　　　　　(　　　)
　
A.一个圆台　　　　　　　
　B.两个圆锥　　　　
　C.一个圆柱　　　　
　D.一个圆锥

答案： D　圆锥的概念　根据圆锥的概念可知题中所得几何体为一个圆锥,故选D.
[方法归纳]圆柱、圆锥、圆台和球是最基本的旋转体,它们都是由平面图形旋转形成的,对于这几种旋转体的概念，要从两个方面把握;一是它们是由什么平面图形旋转形成的，二是该平面图形绕着哪个轴旋转形成.

2.如图是底面半径为3的圆锥,将其放倒在一平面上,使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动,当这个圆锥在平面内转回原位置时,圆锥本身恰好滚动了3周,则该圆锥的表面积为　　　　　(　　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
　
A.36π　　　　　　　　　
　B.27π　　　　　　　
　C.18$\sqrt{2}$π　　　　　　
　D.9π

答案： A　圆锥的表面积与侧面积公式　由题意,设圆锥的母线长为l,以S为圆心,l为半径的圆的面积为πl².又圆锥的侧面积S_{侧}=πrl = 3πl,且圆锥在平面内转到原位置时,圆锥本身滚动了3周,所以πl² = 3×3πl,解得l = 9,所以圆锥的表面积为S_{侧}+S_{底}=3×π×9+π×3² = 36π,故选A.

3.已知正四棱锥S - ABCD,底面边长是2,体积是$\frac{4\sqrt{3}}{3}$,那么这个四棱锥的侧棱长为　　　　(　　　)
　
A.$\sqrt{3}$　　　　　　　　　　
　B.2　　　　　　　　
　C.$\sqrt{5}$　　　　　　　　
　D.2$\sqrt{2}$

答案： C　正四棱锥的体积及侧棱　设正四棱锥的高为h，侧棱长为l，由V = $\frac{1}{3}$×2²×h = $\frac{4\sqrt{3}}{3}$，得h = $\sqrt{3}$，所以侧棱长l = $\sqrt{h^{2}+(\frac{2\sqrt{2}}{2})^{2}}$ = $\sqrt{3 + 2}$ = $\sqrt{5}$，即侧棱长为$\sqrt{5}$，故选C.

4.如图1,在高为h的直三棱柱容器ABC - A₁B₁C₁中,AB = AC = 2,AB⊥AC.现往该容器内灌进一些水,水深为2,然后固定容器底面的一边AB于地面上,再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为A₁B₁C(如图2),则容器的高h为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　　　　　　　　　　　　　
　
A.3　　　　　　　　　　　
　B.4　　　　　　　　
　C.4$\sqrt{2}$　　　　　　　
　D.6

答案： A　直三棱柱的体积公式+三棱锥的体积公式　在题图1中，V_{水}= $\frac{1}{2}$×2×2×2 = 4，在题图2中，V_{水}=V_{ABC - A_{1}B_{1}C_{1}} - V_{C - A_{1}B_{1}C_{1}} = $\frac{1}{2}$×2×2×h - $\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×2×2×h = $\frac{4}{3}$h = 4，则h = 3，故选A.

5.(2022·天津卷)十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，图1中的故宫角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体(图2).这两个直三棱柱有一个公共侧面ABCD.在底面BCE中，若BE = CE = 3，∠BEC = 120°，则该几何体的体积为(　　　)
　　　　　　　　　　
　
A.$\frac{27}{2}$　　　　　　　　　　
　B.$\frac{27\sqrt{3}}{2}$　　　　　　
　C.27　　　　　　　　
　D.27$\sqrt{3}$

答案：
C　三棱柱和三棱锥的结构特征、体积公式　如图所示，该几何体可视为直三棱柱BCE - ADF与两个三棱锥S - MAB，S - NCD拼接而成.记直三棱柱BCE - ADF的底面BCE的面积为S，高为h，所求几何体的体积为V，则S = $\frac{1}{2}$BE·CE·sin120° = $\frac{1}{2}$×3×3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $\frac{9\sqrt{3}}{4}$，h = CD = BC = 3$\sqrt{3}$.所以V = V_{三棱柱BCE - ADF}+V_{三棱锥S - MAB}+V_{三棱锥S - NCD}=Sh + $\frac{1}{3}$S·$\frac{1}{2}$h + $\frac{1}{3}$S·$\frac{1}{2}$h = $\frac{4}{3}$Sh = $\frac{4}{3}$×$\frac{9\sqrt{3}}{4}$×3$\sqrt{3}$ = 27，故选C.