《2025年天利38套常考基础题高中数学》

1.(2022·上海卷)若实数a,b满足a＞b＞0,则下列不等式中,恒成立的是 ( )
A.a + b＞2$\sqrt{ab}$
B.a + b＜2$\sqrt{ab}$
C.$\frac{a}{2}$+2b＞2$\sqrt{ab}$
D.$\frac{a}{2}$+2b＜2$\sqrt{ab}$

答案： A 基本不等式 因为a＞b＞0，所以a + b＞2√ab，故A正确，B错误；因为a/2 + 2b≥2√(a/2·2b)=2√ab，当且仅当a = 4b时取等号，故C，D错误，故选A.

2.若a＞1,b＞1,且a≠b,则a + b,2$\sqrt{ab}$,a² + b²,2ab中的最大值是 ( )
A.a + b
B.2$\sqrt{ab}$
C.a² + b²
D.2ab

答案： C 基本不等式 因为a＞1，b＞1，且a≠b，则a + b＞2√ab，a² + b²＞2ab. 又a² + b² - (a + b)=a(a - 1)+b(b - 1)＞0，所以a² + b²＞a + b，所以a + b，2√ab，a² + b²，2ab中的最大值是a² + b²，故选C.

3.正数x,y满足x + 2y = 2,则$\frac{x + 8y}{xy}$的最小值为 ( )
A.4
B.7
C.8
D.9

答案： D 基本不等式
∵x + 2y = 2，
∴x/2 + y = 1，
∴(x + 8y)/xy = 1/y + 8/x = (1/y + 8/x)(x/2 + y)=x/2y + 8y/x + 5≥2√(x/2y·8y/x)+5 = 9，当且仅当x = 4y = 4/3时等号成立，
∴(x + 8y)/xy的最小值为9，故选D.

4.某观光种植园开设草莓自摘活动,使用一架两臂不等长的天平称重.一顾客欲购买2kg的草莓，服务员先将1kg的砝码放在天平左盘中,在天平右盘中放置草莓A使天平平衡;再将1kg的砝码放在天平右盘中,在天平左盘中放置草莓B使天平平衡;最后将两次称得的草莓交给顾客.你认为顾客购得的草莓是 ( )
A.等于2kg
B.小于2kg
C.大于2kg
D.不确定

答案： C 基本不等式的应用 设天平左臂长x₁，右臂长x₂，且x₁≠x₂，设草莓A有a₁kg，草莓B有a₂kg，所以{x₁·1 = a₁·x₂，x₁·a₂ = x₂·1}，所以a₁ = x₁/x₂，a₂ = x₂/x₁，a₁ + a₂ = x₁/x₂ + x₂/x₁＞2√(x₁/x₂·x₂/x₁)=2，故选C.

5.下列说法正确的是 ( )
A.若x＜$\frac{1}{2}$,则函数y = 2x+$\frac{1}{2x - 1}$的最大值为 - 1
B.若x,y＞0,x + y = 2,则2^x + 2^y的最大值为4
C.若x,y＞0,x + y + xy = 3,则xy的最大值为1
D.函数y = $\frac{x² + 6}{\sqrt{x² + 4}}$的最小值为3

答案： ACD 利用基本不等式求最值 对于选项A，若x＜1/2，则2x - 1＜0，则y = 2x + 1/(2x - 1)=2x - 1 + 1/(2x - 1)+1. 又因为-(2x - 1 + 1/(2x - 1))≥2，当且仅当(2x - 1)² = 1时，即x = 0时等号成立，所以2x - 1 + 1/(2x - 1)≤ - 2，所以y≤ - 1，故选项A正确；对于选项B，2^x + 2^y≥2√(2^x·2^y)=2√(2^(x + y)) = 4，当且仅当2^x = 2^y时，即x = y = 1时等号成立，可得2^x + 2^y的最小值为4，故选项B错误；对于选项C，由x＞0，y＞0，x + y + xy = 3，可得x + y = 3 - xy≥2√xy⇒0＜xy≤1，当且仅当x = y = 1时取等号，故选项C正确；对于选项D，y = (x² + 6)/√(x² + 4)=(x² + 4 + 2)/√(x² + 4)=√(x² + 4)+2/√(x² + 4)≥2√(√(x² + 4)·2/√(x² + 4))=2√2，当且仅当√(x² + 4)=2/√(x² + 4)时取等号，此时x无解. 又因为x²≥0，所以当x² = 0时，y = (x² + 6)/√(x² + 4)取最小值3，故选项D正确. 综上，故选ACD.

6.已知正数x,y,满足x + y = 2,则下列说法正确的是 ( )
A.xy的最大值为1
B.$\sqrt{x}$+$\sqrt{y}$的最大值为2
C.$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$的最小值为2$\sqrt{2}$
D.$\frac{x²}{x + 1}$+$\frac{y²}{y + 1}$的最小值为1

答案： ABD 利用基本不等式求最值 对于A，因为x＞0，y＞0，x + y = 2，所以2 = x + y≥2√xy，则xy≤1，当且仅当x = y且x + y = 2，即x = y = 1时，等号成立，所以xy的最大值为1，故A正确；对于B，因为2(a² + b²) - (a + b)²=a² + b² - 2ab=(a - b)²≥0，所以(a + b)²≤2(a² + b²)，当且仅当a = b时，等号成立，所以(√x + √y)²≤2[(√x)² + (√y)²]=2(x + y)=4，则√x + √y≤2，当且仅当√x = √y且x + y = 2，即x = y = 1时，等号成立，所以√x + √y的最大值为2，故B正确；对于C，2/x + 1/y = 1/2(x + y)·(2/x + 1/y)=1/2×(3 + 2y/x + x/y)≥1/2(3 + 2√(2y/x·x/y))=3/2 + √2，当且仅当2y/x = x/y且x + y = 2，即x = 4 - 2√2，y = 2√2 - 2时等号成立，所以2/x + 1/y的最小值为3/2 + √2，故C错误；对于D，令s = x + 1，t = y + 1，则x = s - 1，y = t - 1，s + t = x + y + 2 = 4，s＞0，t＞0(关键：利用“换元法”进行恒等变形，再利用基本不等式求解)，所以x²/(x + 1)+y²/(y + 1)=(s - 1)²/s+(t - 1)²/t=s - 2 + 1/s+t - 2 + 1/t=1/s + 1/t=1/4(s + t)(1/s + 1/t)=1/4(2 + t/s + s/t)≥1/4(2 + 2√(t/s·s/t))=1，当且仅当s = t且s + t = 4，即s = t = 2，即x = y = 1时，等号成立，所以x²/(x + 1)+y²/(y + 1)的最小值为1，故D正确，故选ABD.

7.若x＞0,y＞0,则$\frac{x + 3y}{x² + 3y² + 4}$的最大值为______.

答案： 7. 1/2

8.已知实数a,b满足3a+$\frac{4}{b}$=1,若对于∀a,b∈R₊,$\frac{1}{a}$+3b＞m恒成立,则实数m的取值范围是______.

答案： 8. (-∞,27)