《2025年天利38套常考基础题高中数学》

1.(2023·上海卷)已知P={1,2}，Q={2,3}，若M={x|x∈P且x∉Q}，则M=( )
A.{1}　　　　　　　　　
　B.{2}　　　　　　　
　C.{1,2}　　　　　　
　D.{1,2,3}

答案： 1.A　集合的相关概念　由题知$M = \{x|x\in P且x\notin Q\} = \{1\}$, 故选A.

2.(2023·新课标Ⅰ卷)已知集合M={-2,-1,0,1,2}，N={x|x² - x - 6≥0}，则M∩N=( )
A.{-2,-1,0,1}　　　　
　B.{0,1,2}　　　　　
　C.{-2}　　　　　　
　D.{2}

答案： 2.C　集合的交集运算＋一元二次不等式的解法　由$x^{2}-x - 6\geqslant0$, 解得$x\geqslant3$或$x\leqslant - 2$, 即$N = (-\infty,-2]\cup[3,+\infty)$, 故$M\cap N = \{ - 2\}$, 故选C.

3.(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A={0,-a}，B={1,a - 2,2a - 2}，若A⊆B，则a=( )
A.2　　　　　　　　　　
　B.1　　　　　　　
　C.2/3　　　　　　　　
　D.-1

答案： 3.B　集合间的关系　若$-a = 1$, 则$a = - 1$, 此时$A = \{0,1\},B = \{1,-3,-4\}$, 不满足题意; 若$-a = a - 2$, 则$a = 1$, 此时$A = \{0,-1\},B = \{1,-1,0\},A\subseteq B$, 满足题意; 若$-a = 2a - 2$, 即$a = \frac{2}{3}$, 此时$A = \{0,-\frac{2}{3}\},B = \{1,-\frac{4}{3},-\frac{2}{3}\}$, 不满足题意, 故选B.

4.设集合A={-3,x + 2,x² - 4x}，且5∈A，则x的值可以为( )
A.3　　　　　　　　　　
　B.-1　　　　　　　
　C.5　　　　　　　　
　D.-3

答案： 4.BC　集合元素的互异性＋解一元二次方程　$\because5\in A$, $\therefore x + 2 = 5$或$x^{2}-4x = 5$, $\therefore x = 3$或$x = 5$或$x = - 1$, 又当$x = 3$时,$A = \{ - 3,5,-3\}$, 不满足集合元素的互异性, 舍去(易错: 在解方程求得$x$值后, 忘记验证集合中元素的互异性), 故选BC.

5.已知集合M，N都是非空集合U的子集，令集合S={x|x恰好属于M，N中的一个}，下列说法正确的是( )
A.若S=N，则M=∅　　　　　　　　　　　　
　B.若S=∅，则M=N
C.若S⊆M，则M⊆N　　　　　　　　　　　　
　D.∃M，N，使得S=(∁_U M)∪(∁_U N)

答案：
5.ABD　Venn图　用Venn图表示, 集合$S$为如图中的阴影部分, 对于A选项, 若$S = N$, 利用$S$的Venn图观察, 则有$M\cap N = \varnothing,M = \varnothing$, 故A选项正确; 对于B选项, 若$S = \varnothing$, 则$M = N$, 故B选项正确; 对于C选项, 反例: 如图集合$S$为如图中的阴影部分,$N\subseteq M$, 故C选项错误; 对于D选项, 例如$U = \{1,2,3,4\},M = \{1,2,3\},N = \{4\},S = \{x|x$恰好属于$M,N$中的一个$\} = \{1,2,3,4\} = U$, 而$(\complement_{U}M)\cup(\complement_{U}N) = \{4\}\cup\{1,2,3\} = \{1,2,3,4\} = S$, 故D选项正确, 故选ABD.
　　　
[素养落地]本题考查集合的新定义, 抽象集合的交、并、补运算, 全称量词命题与存在量词命题的理解, 结合Venn图进行推理论证, 判断命题的真假, 体现数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养.

6.已知全集U={1,2,3,4}，集合A={1,2}，∁_U B={2}，则集合A∩B=________.

答案： 6.$\{1\}$　集合的运算　集合$B = \{1,3,4\}$, 则$A\cap B = \{1\}$.

7.已知集合M为非空数集，且同时满足下列条件:
　(ⅰ)2∈M;
　(ⅱ)对任意的x∈M，任意的y∈M，都有x - y∈M;
　(ⅲ)对任意的x∈M且x≠0，都有1/x∈M.
　给出下列四个结论:
　①0∈M；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②1∉M；
　③对任意的x，y∈M，都有x + y∈M；　　　　　　　　④对任意的x，y∈M，都有xy∈M.
　其中所有正确结论的序号是________.

答案： 7.①③④　新定义问题＋集合的性质　对于①, 由(ⅱ)知, 对任意的$x\in M$, 任意的$y\in M$, 都有$x - y\in M$, 当$y = 0$时, 满足上述条件, 所以$0\in M$成立; 对于②, 由(ⅲ)知, 对任意的$x\in M$且$x\neq0$, 都有$\frac{1}{x}\in M$, 所以可知当$x = 1$时满足上述条件, 所以$1\notin M$不成立; 对于③, 由(ⅱ)知, 对任意的$x\in M$, 任意的$y\in M$, 都有$x - y\in M$, 所以取$y = - y$, 则$-y\in M$, 所以$x - (-y)=x + y\in M$成立; 对于④, 由③可知,$x + y\in M$成立, 所以$x + x = 2x\in M$也成立, 所以$2x + x = 3x\in M$也成立, 因为$xy$即为$y$个$x$相加, 所以$xy\in M$也成立. 综上, 所有正确的结论为①③④.

四、解答题:本题共1小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
8.已知集合A={x|x ＜ a或x ＞ a + 2}，B={x|3^(x - 1)≥9}.
　（Ⅰ）当a = 2时，求A∪B；
　（Ⅱ）若“x∈A”是“x∈B”成立的必要不充分条件，求a的取值范围.

答案： 8.集合的并集＋集合间的基本关系
解:(Ⅰ)当$a = 2$时,$A = \{x|x\lt2或x\gt4\}$, 又$B = \{x|x\geqslant3\}$, 所以$A\cup B = \{x|x\lt2或x\geqslant3\}$.
(Ⅱ)由题意, 得$B\subsetneqq A$, 故$a + 2\lt3$, 解得$a\lt1$, 即$a$的取值范围是$(-\infty,1)$.