《2025年天利38套常考基础题高中数学》

1.若a＞b＞0,d＜c＜0,则下列不等式成立的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　
A.ac＞bc　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.a−d＜b−c
　
C.$\frac{1}{d}$＜$\frac{1}{c}$　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.$a^{3}$＞$b^{3}$

答案： 1.D　不等式的性质　当$a = 2$，$b = 1$，$c = - 1$，$d = - 2$时，$ac\lt bc$，$a - d\gt b - c$，$\frac{1}{d}\gt\frac{1}{c}$，故A，B，C选项错误；当$x\gt0$时，函数$y = x^{3}$为增函数，所以若$a\gt b\gt0$，则$a^{3}\gt b^{3}$，故D选项正确，故选D.

2.不等式$\frac{x}{x−1}$＜0的解集是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　
A.(−∞,0)　　　　　　　　　　　　　　　　　B.(0,1)
　
C.(−∞,0)∪(1,+∞)　　　　　　　　　　　　D.(1,+∞)

答案： 2.B　解不等式　不等式$\frac{x}{x - 1}\lt0\Leftrightarrow x(x - 1)\lt0$且$x\neq1\Rightarrow0\lt x\lt1$，则不等式$\frac{x}{x - 1}\lt0$的解集为$(0,1)$.
【方法指导】分数不等式一般转化为整式不等式求解，注意分母不为0.

3.已知a,b,c,d均为实数,则下列命题正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　
A.若a＞b,c＞d,则ac＞bd　　　　　　　　　　B.若ab＞0,bc−ad＞0,则$\frac{c}{a}$−$\frac{d}{b}$＞0
　
C.若a＞b,c＞d,则a−d＞b−c　　　　　　　　D.若a＞b,c＞d,则$\frac{a}{b}$＞$\frac{c}{d}$

答案： 3.BC　不等式的性质　对于A，当$a\gt b\gt0$，$c\gt d\gt0$时，$ac\gt bd$，故A错误；易知，B，C正确；对于D，取$a = 1$，$b = - 1$，$c = - 2$，$d = - 3$，则$\frac{a}{b}=-\frac{1}{3}\lt\frac{c}{d}=\frac{1}{2}$，故D错误，故选BC.

4.关于x的不等式a(x−1)(x−a)＜0的解集可能是　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　
A.(−∞,a)∪(1,+∞)　　　　　　　　　　　　B.(−∞,1)∪(a,+∞)
　
C.(1,a)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.∅

答案： 4.ACD　解含参数的一元二次不等式　当$a = 0$时，不等式解集为$\varnothing$；当$a\gt0$时，$a(x - 1)(x - a)\lt0\Leftrightarrow(x - 1)(x - a)\lt0$，若$a\gt1$，则不等式解集为$1\lt x\lt a$；若$0\lt a\lt1$，则不等式解集为$a\lt x\lt1$；若$a = 1$，则不等式解集为$x\in\varnothing$；当$a\lt0$时，$a(x - 1)(x - a)\lt0\Leftrightarrow(x - 1)(x - a)\gt0$，解得$x\lt a$或$x\gt1$.综上，当$a = 0$或$a = 1$时，不等式的解集为$\varnothing$；当$a\gt1$时，不等式的解集为$(1,a)$；当$0\lt a\lt1$时，不等式的解集为$(a,1)$；当$a\lt0$时，不等式的解集为$(-\infty,a)\cup(1,+\infty)$（易错：分类讨论应做到不重不漏），故选ACD.

三、填空题:本题共2小题.
5.(2023·上海卷)不等式|x−2|＜1的解集为________.

答案： 5.$\{x|1\lt x\lt3\}$　绝对值不等式的解法+绝对值的几何意义
　解法一:因为不等式$|x - 2|\lt1$等价于$-1\lt x - 2\lt1$，解得$1\lt x\lt3$，所以不等式的解集为$\{x|1\lt x\lt3\}$.
　解法二:根据绝对值的几何意义得$|x - 2|$表示数轴上一点到2的距离，所以$|x - 2|\lt1$表示数轴上一点到2的距离小于1，所以不等式的解集为$\{x|1\lt x\lt3\}$.

6.若一元二次不等式$2kx^{2}+kx-\frac{3}{8}$＜0对一切实数x都成立,则k的取值范围为________.

答案： 6.$(-3,0)$　一元二次不等式恒成立问题的解法　由题意，只需$\begin{cases}2k\lt0,\\k^{2}-4\times2k\times(-\frac{3}{8})=k^{2}+3k\lt0,\end{cases}$解得$-3\lt k\lt0$，故$k$的取值范围是$(-3,0)$.
【方法归纳】一元二次不等式恒成立，常用数形结合的方法分析.列不等式(组)时，通常考查因素有①二次项系数与抛物线的开口方向；②根的判别式的正负；③区间边界对应函数值的正负；④对称轴所在的位置.

四、解答题:本题共1小题　.解答应写出文字说明　、证明过程或演算步骤.
7.求关于x的不等式$x^{2}-(a + 1)x + a\leqslant0$的解集.

答案： 7.一元二次不等式的解集
解:原不等式可化为$(x - 1)(x - a)\leq0$，
$\therefore$当$a = 1$时，原不等式的不等式解集为$\{1\}$；
当$a\lt1$时，原不等式的解集为$[a,1]$；
当$a\gt1$时，原不等式的解集为$[1,a]$.