《2025年天利38套常考基础题高中数学》

1.(2022·北京卷)已知函数$f(x)=\frac{1}{1 + 2^{x}}$，则对任意实数$x$，有　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　
A. $f(-x)+f(x)=0$　　　　　　　　　　　　　
B. $f(-x)-f(x)=0$
　
C. $f(-x)+f(x)=1$　　　　　　　　　　　　　
D. $f(-x)-f(x)=\frac{1}{3}$

答案： 1.C　函数的解析式　因为$f(-x)=\frac{1}{1 + 2^{-x}}=\frac{2^{x}}{1 + 2^{x}}$，所以$f(x)+f(-x)=\frac{1}{1 + 2^{x}}+\frac{2^{x}}{1 + 2^{x}}=1$，故选C.

2.存在函数$f(x)$满足:对任意$x\in\mathbf{R}$都有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　
A. $f(|x|)=x^{2}$　　　　　　　　　　　　　　　
B. $f(\sin x)=x^{2}$
　
C. $f(x^{2}+2x)=|x|$　　　　　　　　　　　　　　
D. $f(|x|)=x^{2}+1$

答案： 2.D　函数定义的判断　对于A，令$x = 1$，则$f(|1|)=f(1)=1$；令$x=-1$，则$f(|-1|)=f(1)=-1$，不符合函数定义(提醒：函数概念包含：
(1)两个变量；
(2)两个变量之间有一一对应的关系)，A错误；对于B，令$x = 0$，则$f(\sin x)=f(0)=0$；令$x=\pi$，则$f(\sin\pi)=f(0)=\pi^{2}$，不符合函数定义，B错误；对于C，令$x = 0$，则$f(0)=0$，令$x=-2$，则$f[(-2)^{2}+2\times(-2)]=f(0)=2$，不符合函数定义，C错误；对于D，$f(|x|)=x^{2}+1=|x|^{2}+1$(题眼). 因为$|x|\geqslant0$，所以存在$x\in\mathbf{R}$时，$f(x)=x^{2}+1$，符合函数定义，D正确，故选D.

3.已知函数$y = f(x + 1)$的定义域为$[1,2]$，则函数$y = f(2x - 1)$的定义域为　　　　　　　(　　　)
　
A. $[\frac{1}{2},1]$　　　　　　　　　
B. $[\frac{3}{2},2]$　　　　　　
C. $[-1,1]$　　　　　　
D. $[3,5]$

答案： 3.B　抽象函数的定义域　因为函数$y = f(x + 1)$的定义域为$[1,2]$，所以$1\leqslant x\leqslant2$，即$2\leqslant x + 1\leqslant3$，所以在函数$y = f(2x - 1)$中，$2\leqslant2x - 1\leqslant3$，解得$\frac{3}{2}\leqslant x\leqslant2$，故选B.

4.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子"的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家.用其名字命名的“高斯函数"为: $y=[x](x\in\mathbf{R})$，$[x]$表示不超过$x$的最大整数，如$[-1.6]= - 2$，$[1.6]=1$，$[2]=2$，已知$f(x)=\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}+\frac{1}{2}$，则函数$y=[f(x)]$的值域为　　(　　　)
　
A. $\{0\}$　　　　　　　　　　
B. $\{-1,0\}$　　　　　　
C. $\{-1,0,1\}$　　　　　
D. $\{-2,-1,0\}$

答案： 4.C　指数运算+高斯函数　因为$f(x)=\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}-\frac{2}{1 + e^{x}}$，且$e^{x}+1＞1$，所以$0＜\frac{2}{1 + e^{x}}＜2$，所以$-2＜-\frac{2}{1 + e^{x}}＜0$，所以$f(x)=\frac{3}{2}-\frac{2}{1 + e^{x}}\in(-\frac{1}{2},\frac{3}{2})$，则$y=[f(x)]$的值域为$\{-1,0,1\}$，故选C.

5.(2022·北京卷)函数$f(x)=\frac{1}{x}+\sqrt{1 - x}$的定义域是______.

答案： 5.$(-\infty,0)\cup(0,1]$　　函数的定义域　由题得$\begin{cases}x\neq0,\\1 - x\geqslant0,\end{cases}$解得$x＜0,0＜x\leqslant1$，所以函数$f(x)$的定义域为$(-\infty,0)\cup(0,1]$.

6.写出对应关系和值域都相同，但定义域不相同的两个函数:______和______.

答案： 6.$y = x^{2}$和$y = x^{2},x\in[0,+\infty)$(答案不唯一)　函数的概念及其表示　对应关系和值域都相同，但定义域不相同的两个函数可以为$y = x^{2}$和$y = x^{2},x\in[0,+\infty)$.

7.(2023·上海卷)已知$f(x)=\begin{cases}2^{x},x＞0\\1,x\leqslant0\end{cases}$，则$f(x)$的值域是______.

答案： 7.$[1,+\infty)$　分段函数的值域　当$x＞0$时，$f(x)=2^{x}＞1$；当$x\leqslant0$时，$f(x)=1$，所以函数$f(x)$的值域为$[1,+\infty)$.

三、解答题:本题共1小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
8.设函数$f(x)=mx+\frac{3}{x - n}$，且方程$f(x)=2x$有两个实数根为$x_{1}=3$，$x_{2}=-1$.
　(I)求$f(x)$的解析式;
　(II)若$x＞2$，求$f(x)$的最小值及取得最小值时$x$的值.

答案： 8.函数解析式+利用基本不等式求函数最值
解：(Ⅰ)由$f(x)=2x$，得$mx+\frac{3}{x - n}=2x$，
化简得$(m - 2)x^{2}+(2n - mn)x + 3 = 0$(提示：将$f(x)=2x$化为一元二次方程，根据韦达定理列式求出$m$，$n$，可得结果).
因为$x_{1}=3$，$x_{2}=-1$是上述方程的两个根，
由韦达定理可得$\begin{cases}-\frac{2n - mn}{m - 2}=2,\\\frac{3}{m - 2}=-3,\end{cases}$
解得$\begin{cases}m = 1,\\n = 2,\end{cases}$
所以$f(x)=x+\frac{3}{x - 2}$.
(Ⅱ)当$x＞2$时，
$f(x)=x+\frac{3}{x - 2}=x - 2+\frac{3}{x - 2}+2\geqslant2\sqrt{3}+2$，
当且仅当$x - 2=\frac{3}{x - 2}$，即$x = 2+\sqrt{3}$时，等号成立，
所以$f(x)$的最小值为$2\sqrt{3}+2$，此时$x = 2+\sqrt{3}$.