《2024年零失误分层训练高中数学必修第一册人教版B版》

1.（2024·广东广州第十七中学高一期中）若定义在R上的奇函数$f(x)$在区间$(0,+\infty )$上单调递增，且$f(3)=0$，则满足$xf(x)\leq0$的x的取值范围为（ ）
A. $[-3,3]$
B. $(-3,3)$
C. $(-\infty ,-3]\cup [3,+\infty )$
D. $(-\infty ,-3)\cup (3,+\infty )$

答案： A[提示:因为奇函数f(x)在区间(0，+∞)上单调递增，所以∮(x)在区间(−∞,0)上单调递增,①当x=0时,不等式xf(x)≤0显然成立;②当x＞0时,若要xf(x)≤0成立,只需f(x)≤0即可,由f
(3)=0和f(x)的单调性可知,f(x)≤0=f
(3),即0＜x≤3;③当x＜0时,若要xf(x)≤0成立,只需f(x)≥0即可,由f
(3)=0=f(−3)和f(x)的单调性可知,f(x)≥0=f(−3),即−3≤x＜0.综上所述,xf(x)≤0的x的取值范围为[−3,3].]

2.（2024·天津高一期中）若函数$f(x)$为奇函数，且在$(0,+\infty )$上是增函数，又$f(2)=0$，则$\frac{f(x)-f(-x)}{x}＞0$的解集为（ ）
A. $(-2,0)\cup (0,2)$
B. $(-\infty ,-2)\cup (0,2)$
C. $(-\infty ,-2)\cup (2,+\infty )$
D. $(-2,0)\cup (2,+\infty )$

答案： 2.C

3.（2024·重庆南开中学高一期中）已知定义在$(-8,8)$上的奇函数$f(x)$在$[0,8)$上单调递增，则关于x的不等式$f(x^{2}-2x)+f(x^{3})＞0$的解集为（ ）
A. $(0,1)$
B. $(-2,0)\cup (1,4)$
C. $(-2,0)\cup (1,+\infty )$
D. $(-2,0)\cup (1,2)$

答案： 3.D

4.（2024·云南昆明一中高一期中）已知定义在R上的函数$f(x)$图象是连续不断的，且满足以下条件：①$\forall x\in R,f(-x)=f(x)$；②$\forall x_{1},x_{2}\in (0,+\infty )$，当$x_{1}\neq x_{2}$时，都有$\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}＜0$；③$f(-1)=0$. 则下列选项成立的是（ ）
A. $f(3)＞f(-4)$
B. 若$f(m - 1)＞f(2)$，则$m\in (-\infty ,3)$
C. 若$\frac{f(x)}{x}＞0$，则$x\in (-\infty ,-1)\cup (0,1)$
D. $\forall x\in R,\exists M\in R$，使得$f(x)\leq M$

答案： 4.ACD

5.（2024·广东东莞中学松山湖学校高一月考）奇函数$f(x)$在$(0,+\infty )$上为增函数，且$f(1)=0$，则不等式$\frac{2021f(x)-2020f(-x)}{x}＞0$的解集为______________.

答案： 5.(−∞，−1)U(1,+∞)

6.（2024·重庆第七中学高一期中）已知$f(x)$为定义在R上的单调函数，对任意$x,y\in R$，有$f(x + y)=f(x)+f(y)$，$f(3)=6$.
（1）求$f(0)$，$f(1)$；
（2）判断函数$f(x)$的奇偶性，并证明；
（3）求不等式$f(3x^{2})+f(2x - 1)＜0$的解集.

答案： 解：
(1)取$x = 0$，得$f(0 + y)=f(0)+f(y)$，$\therefore f(0)=0$. $\because f(3)=f(1 + 2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1 + 1)=f(1)+f(1)+f(1)$，又$\because f(3)=6$，$\therefore 3f(1)=6$，$\therefore f(1)=2$.
(2)函数$f(x)$是奇函数，证明如下：取$y=-x$，得$f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)=0$，$\therefore f(-x)= -f(x)$，又$f(x)$为定义在$\mathbf{R}$上的单调函数，关于原点对称，$\therefore$函数$f(x)$是奇函数.
(3)$\because f(x)$是奇函数，且$f(3x^{2})+f(2x - 1)<0$，$\therefore f(3x^{2})<-f(2x - 1)=f(1 - 2x)$，又$\because f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的单调函数，且$f(0)=0＜f(1)=2$
$∵f(x)是定义在R上的增函数$
$∴3x²＜1-2x$
$解得-1＜x＜\frac{1}{3}$

7.（2024·北京清华附中高一期中）已知$f(x)$是定义在$(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$上的函数，满足下列两个条件：
①当$x＜0$时，$f(x)＜0$恒成立；
②对任意的$x,y\in (-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$，都有$f(x)f(y)=f(xy)+f(\frac{y}{x})$.
（1）求$f(1)$和$f(-1)$的值；
（2）求证：$f(x)$为奇函数，并且$f(x)=f(\frac{1}{x})$；
（3）若$f(x)$在区间$(0,1]$上单调递减，直接写出关于x的不等式$f(x^{2}+x + 1)+f(-\frac{1}{3})\leq0$的解集.

答案： $解:(1)因为函数f(x)满足f(x)(y)=f(xy)+f(\frac{y}{x}),且当x<0时,f(x)<0恒成立,$
$令x=1,y=−1,可得f(1).f(−1)=f(−1)+f(−1)=2f(−1),$
$因为f(−1)≠0,$
$所以f(1)=2,$
$令x=y=−1,可得f(−1)f(−1)=f(1)+f(1),$
$即f²(−1)=2f(1),$
$因为f(1)=2,且当x<0时,f(x)<0恒成立,$
$所以f(−1)=−2. $
$(2)证明:由题意，函数f(x)的定义域(−∞,0)U(0,+8)关于原点对称，$
$令y=−1,可得f(x)f(−1)=f(−x)+f(−\frac{1}{x}),$
$令y=1,可得f(x) .f(1)=f(x) +f(\frac{1}{x}),$$用−x代换x,可得f(−x)f(1)=f(−x)+f( −\frac{1}{x}),$$所以f(x)f(−1)=f(−x)f(1),$
$因为f(1)=2f(−1)=−2,$
$所以f(−x)=−f(x),$
$所以函数f(x)为定义域上的奇函数.$$令y=1,可得f(x)f(1)=f(x)+f(\frac{1}{x}),$$因为f(1)=2,$
$所以2f(x)=f(x)+f(\frac{1}{x}),$
$即f(x)=\frac{1}{x} $
$(3)不等式的解集为[1,2].$

8.（2024·重庆铁路中学高一期中）已知函数$f(x)$是定义在$(-1,1)$上的奇函数，在区间$(-1,0]$上单调递增. 若实数a满足$f(a - 1)+f(a)＜0$，则实数a的取值范围是（ ）
A. $(-\infty ,\frac{1}{2})$
B. $(\frac{1}{2},+\infty )$
C. $(0,\frac{1}{2})$
D. $[0,\frac{1}{2})$

答案： 8.C