《2024年零失误分层训练高中数学必修第一册人教版B版》

分解以下因式：(1)$3a^{3}b - 81b^{4}$；(2)$a^{7}-ab^{6}$.

答案： 解:
(1)$3a^{3}b - 81b^{4}=3b(a^{3}-27b^{3})=3b(a - 3b)(a^{2}+3ab + 9b^{2})$.
(2)$a^{7}-ab^{6}=a(a^{6}-b^{6})=a(a^{3}+b^{3})(a^{3}-b^{3})=a(a + b)(a^{2}-ab + b^{2})(a - b)(a^{2}+ab + b^{2})=a(a + b)(a - b)(a^{2}+ab + b^{2})(a^{2}-ab + b^{2})$.

1.（教材改编题）已知集合$A = \{x\in\mathbf{Z}\mid0\leqslant x ＜ 3\}$，$B = \{x\mid - 1 ＜ x\leqslant1\}$，则$A\cap B$等于（ ）
A. $\{0,1\}$
B. $\{0,1,2\}$
C. $\{x\mid - 1 ＜ x ＜ 3\}$
D. $\{x\mid0\leqslant x\leqslant1\}$

答案： A[提示:$A = \{0,1,2\}$，故$A\cap B = \{0,1,2\}\cap\{x\mid - 1 ＜ x\leqslant1\} = \{0,1\}$.]

2.（2024·辽宁大连八中月考）已知集合$A = \{0,2\}$，$B = \{ - 2,-1,0,1,2\}$，则$A\cap B$等于（ ）
A. $\{0,2\}$
B. $\{1,2\}$
C. $\{0\}$
D. $\{ - 2,-1,0,1,2\}$

答案： A[提示:由$A = \{0,2\}$，$B = \{ - 2,-1,0,1,2\}$，可得$A\cap B = \{0,2\}$.]

3.（2023·辽宁葫芦岛第一高级中学高一月考）若集合$M = \{x\mid\sqrt{x}＜4\}$，$N = \{x\mid3x\geqslant1\}$，则$M\cap N$等于（ ）
A. $\{x\mid0\leqslant x ＜ 2\}$
B. $\left\{x\mid\frac{1}{3}\leqslant x ＜ 2\right\}$
C. $\{x\mid3\leqslant x ＜ 16\}$
D. $\left\{x\mid\frac{1}{3}\leqslant x ＜ 16\right\}$

答案： D[提示:$M = \{x\mid0\leqslant x ＜ 16\}$，$N = \{x\mid x\geqslant\frac{1}{3}\}$，故$M\cap N = \{x\mid\frac{1}{3}\leqslant x ＜ 16\}$.]

4.（2023·山东德州一中高一月考）设集合$A = \{ - a,a^{2},0\}$，$B = \{2,4\}$，若$A\cap B = \{4\}$，则实数$a$的值为（ ）
A. $\pm2$
B. 2或 - 4
C. 2
D. $\pm4$

答案： B[提示:因为$A\cap B = \{4\}$，所以$4\in A$，即$a = - 4$或$a^{2}=4$.当$a = - 4$时，$A = \{16,4,0\}$，$A\cap B = \{4\}$，符合题意.当$a^{2}=4$时，解得$a = 2$或$a = - 2$，若$a = 2$，则$A = \{ - 2,4,0\}$，$A\cap B = \{4\}$，符合题意，若$a = - 2$，则$A = \{2,4,0\}$，$A\cap B = \{2,4\}$，不符合题意，所以$a = 2$或$a = - 4$，所以实数$a$的值为2或 - 4.]

5.（教材改编题）已知集合$A = \{x\mid0\leqslant x\leqslant3\}$，$B = \{x\mid1\leqslant x ＜ 4\}$，则$A\cup B$等于（ ）
A. $\{x\mid1 ＜ x\leqslant3\}$
B. $\{x\mid0\leqslant x ＜ 4\}$
C. $\{x\mid1\leqslant x\leqslant3\}$
D. $\{x\mid0 ＜ x ＜ 4\}$

答案： B[提示:
∵集合$A = \{x\mid0\leqslant x\leqslant3\}$，$B = \{x\mid1\leqslant x ＜ 4\}$，
∴$A\cup B = \{x\mid0\leqslant x ＜ 4\}$.]

6.（2024·山东青岛二中月考）已知集合$A = \{1,3,a^{2}\}$，$B = \{1,a + 2\}$，$A\cup B = A$，则实数$a$的值为（ ）
A. 2
B. - 1或2
C. 1或2
D. 0或2

答案： A[提示:由$A\cup B = A$知$B\subseteq A$，当$a + 2 = 3$，即$a = 1$时，$a^{2}=1$，此时$A = \{1,3,1\}$，与集合中元素互异性矛盾，不符合；当$a + 2 = a^{2}$，即$a = - 1$或$a = 2$时，若$a = - 1$，则$a^{2}=1$，此时$A = \{1,3,1\}$，与集合中元素互异性矛盾，不符合；若$a = 2$，则$A = \{1,3,4\}$，$B = \{1,4\}$，满足要求.综上，$a = 2$.]

7.已知$A = \{1,2,a + 3\}$，$B = \{a,5\}$，若$A\cup B = A$，则$a$等于（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

答案： C[提示:
∵$A = \{1,2,a + 3\}$，$B = \{a,5\}$，$A\cup B = A$，
∴$B\subseteq A$，
∴$a + 3 = 5$，解得$a = 2$.]

8.（2023·辽宁凤城一中高一月考）已知集合$A = \{x\mid1 ＜ x\leqslant a\}$，$B = \{x\mid1 ＜ x ＜ 2\}$，若$A\cup B = A$，则实数$a$的取值范围是______.

答案： $a\geqslant2$[提示:
∵$A\cup B = A$，
∴$B\subseteq A$，
∴$a\geqslant2$.]

9.（教材改编题）已知集合$A = \{x\mid - 1\leqslant x ＜ 3\}$，$B = \{x\mid1 ＜ x\leqslant5\}$，则$A\cap(\complement_{\mathbf{R}}B)$等于（ ）
A. $(-\infty,1)\cup(5,+\infty)$
B. $[-1,1]$
C. $[-1,5]$
D. $[-3,5]$

答案： B[提示:由$B = \{x\mid1 ＜ x\leqslant5\}$，得$\complement_{\mathbf{R}}B = (-\infty,1]\cup(5,+\infty)$，又$A = \{x\mid - 1\leqslant x ＜ 3\}$，所以$A\cap(\complement_{\mathbf{R}}B) = [-1,1]$.]

10.（2023·湖南雅礼中学期末）设全集$U = \{ - 2,-1,0,1,2,3\}$，集合$A = \{ - 1,2\}$，$B = \{x\mid x^{2}-4x + 3 = 0\}$，则$\complement_{U}(A\cup B)$等于（ ）
A. $\{1,3\}$
B. $\{0,3\}$
C. $\{ - 2,0\}$
D. $\{ - 2,1\}$

答案： C[提示:
∵$B = \{x\mid x^{2}-4x + 3 = 0\} = \{1,3\}$，$A = \{ - 1,2\}$，
∴$A\cup B = \{ - 1,1,2,3\}$，
∵$U = \{ - 2,-1,0,1,2,3\}$，
∴$\complement_{U}(A\cup B) = \{ - 2,0\}$.]

11.（2024·上海高一上期末联考）若全集$U = \{3,-3,a^{2}+2a - 3\}$，$A = \{a + 1,3\}$，且$\complement_{U}A = \{5\}$，求实数$a$的值.

答案： 解:由题意可知$5\in U$，$-3\in A$，则$\begin{cases}a + 1 = - 3\\a^{2}+2a - 3 = 5\end{cases}$，解得$a = - 4$，所以实数$a$的值为 - 4.