《2024年零失误分层训练高中数学必修第一册人教版B版》

9. (2023·福建武平一中高一月考)已知函数$y = ax + 3$在区间$[-2,3]$上有最小值$0$，则实数$a$的值为 ( )
A. -1
B. -3
C. $\frac{3}{2}$
D. -1或$\frac{3}{2}$

答案： D[提示:当a=0时,函数y=3,显然不符合题意;当a＜0 时，函数y=ax+3为单调递减函数，所以3a+3=0,解得a =−1;当a＞0时,函数y=ax+3为单调递增函数，所以(−2)×a+3=0,解得a=$\frac{3}{2}$.综上可得实数a的值为−1 或$\frac{3}{2}$. ]

10. (2023·宁夏银川二中高一期中)若函数$y = x^{2}-3x - 4$的定义域为$[0,m]$，值域为$[-\frac{25}{4},-4]$，则$m$的取值范围是 ( )
A. $(0,4]$
B. $[\frac{3}{2},3]$
C. $[\frac{3}{2},4]$
D. $[\frac{3}{2},+\infty)$

答案：
B[提示:y=x²−3x−4图象的对称轴为直线x=$\frac{3}{2}$,当x=$\frac{3}{2}$时,y=−$\frac{25}{4}$,当x=0时,y=−4,故当y=−4时,设另一根为x₂,解得x₂=3,如图所示，由二次函数的图象可知，要使定义域为[0,m]时,值域为[−$\frac{25}{4}$,−4],故m∈[$\frac{3}{2}$,3].]

11. 若函数$f(x)$的值域是$[\frac{1}{2},3]$，则函数$F(x)=f(x)+\frac{1}{f(x)}$的值域是 ( )
A. $[\frac{1}{2},3]$
B. $[2,\frac{10}{3}]$
C. $[\frac{5}{2},\frac{10}{3}]$
D. $[\frac{5}{6},5]$

答案： B[提示:令f(x)=t,y=t+$\frac{1}{t}$,则t∈[$\frac{1}{2}$,3].当t∈[$\frac{1}{2}$,1)时,y=t+$\frac{1}{t}$单调递减,当t∈[1,3]时,y=t+$\frac{1}{t}$单调递增，又当t=$\frac{1}{2}$时,y=$\frac{5}{2}$,当t=1时,y=2,当t=3时,y=$\frac{10}{3}$,所以函数F(x)的值域为[2,$\frac{10}{3}$].]

12. 已知集合$A = \{x|x ＞ -1\}$，函数$f(x)=x+\frac{1}{x + 1}+2,x\in A$，则此函数的最小值是 ( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 不存在

答案： C[提示:设t=x+1,则y=t+$\frac{1}{t}$+1,所以f(x)是由t=x +1和y=t+$\frac{1}{t}$+1构成的复合函数，因为t=x+1在R 上是单调递增函数,y=t+$\frac{1}{t}$+1在(0,1)上是单调递减函数,在(1,+∞)上是单调递增函数，所以f(x)在(−1,0)上是单调递减函数，在(0，+∞)上是单调递增函数，所以当x=0时f(x)取得最小值，为3.]

13. (2024·福建福州高一期中) [多选] 关于函数$f(x)=\sqrt{-x^{2}+2x + 3}$的结论，下列说法正确的有 ( )
A. $f(x)$的单调递减区间是$[1,+\infty)$
B. $f(x)$的单调递增区间是$[-1,1]$
C. $f(x)$的最大值为2
D. $f(x)$没有最小值

答案： BC[提示:由−x²+2x+3≥0,得x²−2x−3=(x−3)(x+1)≤0,解得−1≤x≤3,所以f(x)的定义域是[−1,3],函数y=−x²+2x+3图象的开口向下,对称轴为直线x=1,根据复合函数单调性同增异减可知，f(x)的单调递减区间是[1,3],A选项错误.f(x)的单调递增区间是[−1,1],B 选项正确.所以f(x)的最大值是f
(1)= $\sqrt{−1²+2×1+3}$=2,C选项正确.f(x)的最小值是f(−1)=f
(3)=0,D选项错误.]

14. (教材改编题)已知$f(x)=\sqrt{x^{2}-1}$，试判断$f(x)$在区间$[1,+\infty)$上的单调性，并加以证明.

答案： 解:f(x)在区间[1,+∞)上单调递增，证明如下:设任意的x₁,x₂∈[1,+∞)且x₁＜x₂,则f(x₁)−f(x₂)=$\sqrt{x₁²−1}$−$\sqrt{x₂²−1}$=$\frac{(\sqrt{x₁²−1}-\sqrt{x₂²−1})(\sqrt{x₁²−1}+\sqrt{x₂²−1})}{\sqrt{x₁²−1}+\sqrt{x₂²−1}}$=$\frac{x₁²−1-(x₂²−1)}{\sqrt{x₁²−1}+\sqrt{x₂²−1}}$=$\frac{x₁²−x₂²}{\sqrt{x₁²−1}+\sqrt{x₂²−1}}$=$\frac{(x₁−x₂)(x₁+x₂)}{\sqrt{x₁²−1}+\sqrt{x₂²−1}}$,因为x₁,x₂∈[1,+∞)且x₁＜x₂,所以x₁²−1≥0,x₂²−1＞0,x₁−x₂＜0,x₁+x₂＞0,所以f(x₁)−f(x₂)＜0,即f(x₁)＜f(x₂),所以f(x)=$\sqrt{x²−1}$在区间[1,+∞)上单调递增.

1.【题型二】(2024·北京海淀区高一期中)函数$f(x)=\begin{cases}-x,x\leq1 \\ x^{2},x＞1\end{cases}$的最小值为 ( )
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2

答案： A[提示:由已知x≤1时f(x)=−x是减函数,得f
(1)=−1,此时f(x)≥−1,x＞1时，f(x)=x²是增函数,且f(x)＞1,所以f(x)min=f
(1)=−1.]

2.【题型一、三】(2024·辽宁沈阳高一期中)已知函数$f(x)=\begin{cases}-x^{2},x\geq0 \\ x^{2},x＜0\end{cases}$，若$f(a - 1)＞f(-a)$，则实数$a$的取值范围是 ( )
A. $a＞\frac{1}{2}$
B. $a＞1$
C. $a＜\frac{1}{2}$
D. $a＜1$

答案： C[提示:由题意得当x≥0时，f(x)=−x²,则函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,且f(x)≤f
(0)=0,当x＜0时，f(x)=x²,则函数f(x)在(−∞,0)上单调递减,且f(x)＞f
(0)=0,所以函数f(x)在R上是减函数,又f(a−1)＞f(−a),所以a−1＜−a,解得a＜$\frac{1}{2}$,实数a的取值范围是a＜$\frac{1}{2}$. ]

3.【题型二、三】(2024·河北保定高一期中)定义运算“$*$”如下：当$m\geq n$时，$m * n = 2n$；当$m ＜ n$时，$m * n = n^{2}-3$。设函数$f(x)=(2 * x)+(4 * x),x\in[1,4]$，则函数$f(x)$的值域为 ( )
A. $(5,21]$
B. $(4,21]$
C. $[4,21]$
D. $[5,21]$

答案： C[提示:由题意得当1≤x≤2时,f(x)=2x+2x=4x,则f(x)∈[4,8];当2＜x≤4时,f(x)=x²+2x−3,其图象对称轴为直线x=−1,函数在(2,4]上单调递增，f
(2)=5,f
(4)=21,则f(x)∈(5,21],则函数f(x)的值域为[4,21].]