《2024年零失误分层训练高中数学必修第一册人教版B版》

8.【题型三】（2023·启东中学校级期中）已知函数$f(x)=\frac{|x - 1| - a}{\sqrt{1 - x^2}}$是奇函数，则实数a的值为________.

答案： 1[提示：由题得其自变量的取值须满足1 - x² ＞ 0，即为 - 1 ＜ x ＜ 1，中间有0，又因为奇函数中f( - x) = - f(x)，所以有f( - 0) = - f
(0)⇒f
(0) = 0. f
(0) = $\frac{|0 - 1| - a}{\sqrt{1 - 0^{2}}}$ = 1 - a = 0⇒a = 1. ]

9.【题型三】已知函数$f(x)$是奇函数，且当$x\lt0$时，$f(x)=x^2 + x - 2$，则不等式$\frac{f(x)}{x}\lt0$的解集为________________.

答案： ( - ∞, - 2)∪(2, + ∞)[提示：由函数f(x)是奇函数，可得f( - x) = - f(x)，当x ＜ 0时，f(x) = x² + x - 2，可得x ＞ 0时， - x ＜ 0，f( - x) = x² - x - 2，所以x ＞ 0时，f(x) = - f( - x) = - x² + x + 2，则不等式$\frac{f(x)}{x}$ ＜ 0等价为$\begin{cases}x ＞ 0 \\ f(x) = - x^{2}+x + 2 ＜ 0 \end{cases}$或$\begin{cases}x ＜ 0 \\ f(x) = x^{2}+x - 2 ＞ 0 \end{cases}$，解得$\begin{cases}x ＞ 0 \\ x ＞ 2或x ＜ - 1 \end{cases}$或$\begin{cases}x ＜ 0 \\ x ＞ 1或x ＜ - 2 \end{cases}$，即为x ＞ 2或x ＜ - 2，所以原不等式的解集为( - ∞, - 2)∪(2, + ∞). ]

10.【题型二、三】（2023·辽宁大连二十四中高一期中）已知函数$f(x)=\frac{ax + b}{x^2 + 1}$是定义域为$[-1,1]$的奇函数，且$f(1)=1$.
（1）求a，b的值，并判断$f(x)$的单调性（不必证明）；
（2）设k为正数，函数$g(x)=x^2 + (k - 1)x+\frac{k}{4x}-2$，若对于任意$x_1\in[-1,1]$，总存在$x_2\in(0,1]$，使得$f(x_1)\geq g(x_2)$成立，求k的最大值.

答案： 解：
(1)因为f(x)是定义域为[ - 1,1]的奇函数，所以f
(0) = b = 0，则f(x) = $\frac{ax}{x^{2}+1}$，又f
(1) = 1，则$\frac{a}{1 + 1}$ = 1，解得a = 2，所以f(x) = $\frac{2x}{x^{2}+1}$，f(x)在定义域内单调递增.
(2)因为对任意x₁∈[ - 1,1]，总存在x₂∈(0,1]，使得f(x₁)≥g(x₂)，所以f(x₁)min≥g(x₂)min，由
(1)得f(x₁)min = f( - 1) = - 1，g(x) = x² + (k - 1)x + $\frac{k}{4x}$ - 2 = x² - x - 2 + kx + $\frac{k}{4x}$，当x∈(0,1]时，y = x² - x - 2在x = $\frac{1}{2}$处取得最小值，y = kx + $\frac{k}{4x}$在kx = $\frac{k}{4x}$，即x = $\frac{1}{2}$处取得最小值，所以g(x₂)min = g($\frac{1}{2}$) = $\frac{1}{4}$ + $\frac{k - 1}{2}$ + $\frac{k}{2}$ - 2 = k - $\frac{9}{4}$，所以 - 1≥k - $\frac{9}{4}$，解得0 ＜ k≤$\frac{5}{4}$. 所以k的最大值为$\frac{5}{4}$.

11.【题型二、三】（2024·黑龙江佳木斯一中期中）已知$y = f(x)$是定义在R上的偶函数，当$x\geq0$时，$f(x)=x^2 - 2x$.
（1）求$f(1),f(-2)$的值；
（2）求$f(x)$的解析式；
（3）画出$y = f(x)$的简图；写出$y = f(x)$的单调递增区间（只需写出结果，不要解答过程）.

答案：
解：
(1)当x≥0时，f(x) = x² - 2x，f( - x) = f(x)，
∴f
(1) = - 1，f( - 2) = f
(2) = 0.
(2)
∵y = f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x) = x² - 2x，当x ＜ 0时， - x ＞ 0，f( - x) = ( - x)² - 2( - x) = x² + 2x，
∴f(x) = f( - x) = x² + 2x，
∴f(x) = $\begin{cases}x^{2}-2x,x\geq0 \\ x^{2}+2x,x ＜ 0 \end{cases}$.
(3)
∵f(x) = $\begin{cases}x^{2}-2x,x\geq0 \\ x^{2}+2x,x ＜ 0 \end{cases}$，
∴当x≥0时，y = x² - 2x，抛物线开口向上，对称轴方程为x = 1，顶点坐标为(1, - 1)，当y = 0时，x₁ = 0，x₂ = 2；当x = 0时，y = 0. 当x ＜ 0时，y = x² + 2x，抛物线开口向上，对称轴方程为x = - 1，顶点坐标为( - 1, - 1)，当y = 0时，x = - 2. 由此能作出函数f(x)的图象如图，
　　　　　　　　　　　　
结合图象，知f(x)的单调递增区间是( - 1,0)，(1, + ∞).

12.【题型一、三】已知函数$f(x)=\frac{x^2}{1 + x^2}+1,x\in R$.
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）求$f(x)+f(\frac{1}{x})$的值；
（3）计算$f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(\frac{1}{2})+f(\frac{1}{3})+f(\frac{1}{4})$.

答案： 解：
(1)该函数是偶函数，证明如下：f(x) = $\frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$ + 1的定义域为R，关于原点对称. 因为f( - x) = $\frac{(-x)^{2}}{1 + (-x)^{2}}$ + 1 = $\frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$ + 1 = f(x)，所以f(x) = $\frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$ + 1是偶函数.
(2)因为f(x) = $\frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$ + 1，所以f($\frac{1}{x}$) = $\frac{(\frac{1}{x})^{2}}{1 + (\frac{1}{x})^{2}}$ + 1 = $\frac{1}{x^{2}+1}$ + 1，所以f(x) + f($\frac{1}{x}$) = 3.
(3)由
(2)可知，f(x) + f($\frac{1}{x}$) = 3，所以f
(1) + f
(2) + f
(3) + f
(4) + f($\frac{1}{2}$) + f($\frac{1}{3}$) + f($\frac{1}{4}$) = f
(1) + [f
(2) + f($\frac{1}{2}$)] + [f
(3) + f($\frac{1}{3}$)] + [f
(4) + f($\frac{1}{4}$)] = $\frac{21}{2}$.

1.已知定义在$(-1,1)$上的奇函数$f(x)$是增函数，且$f(a)+f(2a^2 - 1)\lt0$，则a的取值范围为________________.

答案： ( - 1,0)∪(0,$\frac{1}{2}$)[提示：由函数是奇函数，得f(a) ＜ f(1 - 2a²). 又因为函数f(x)是增函数，所以a ＜ 1 - 2a²，因为定义域为( - 1,1)，所以$\begin{cases}a ＜ 1 - 2a^{2} \\ - 1 ＜ a ＜ 1 \\ - 1 ＜ 1 - 2a^{2} ＜ 1 \end{cases}$，解不等式组，得 - 1 ＜ a ＜ 0或0 ＜ a ＜ $\frac{1}{2}$，所以a的取值范围为( - 1,0)∪(0,$\frac{1}{2}$). ]

2.已知$f(x)$为定义在$[-1,1]$上的偶函数，且在$[-1,0]$上单调递减，则满足不等式$f(a)\lt f(2a - 1)$的a的取值范围是__________.（用区间表示）

答案： [0,$\frac{1}{3}$)[提示：因为f(x)是定义在[ - 1,1]上的偶函数，且在[ - 1,0]上单调递减，所以f(x)在[0,1]上单调递增，f(a) ＜ f(2a - 1)⇔f(|a|) ＜ f(|2a - 1|)⇔|a| ＜ |2a - 1|，两边平方整理得3a² - 4a + 1 ＞ 0，解得a ＜ $\frac{1}{3}$或a ＞ 1，而f(x)的定义域为[ - 1,1]，则$\begin{cases}-1\leq a\leq1 \\ - 1\leq2a - 1\leq1 \end{cases}$，解得0≤a≤1. 综上，0≤a ＜ $\frac{1}{3}$，故所求a的取值范围是[0,$\frac{1}{3}$). ]