《2024年零失误分层训练高中数学必修第一册人教版B版》

化简：
(1)$\frac{x\sqrt{x}+x\sqrt{y}}{xy - y^{2}}-\frac{x+\sqrt{xy}+y}{x\sqrt{x}-y\sqrt{y}}$；(2)$(\sqrt{a}+\frac{b - \sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}})\div(-\frac{a}{\sqrt{ab}+b}+\frac{b}{\sqrt{ab}-a}-\frac{a + b}{\sqrt{ab}})$。

答案：
(1) 原式$=\frac{x}{y} \cdot \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x - y}-\frac{(\sqrt{x})^{2}+\sqrt{x} \cdot \sqrt{y}+(\sqrt{y})^{2}}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})[(\sqrt{x})^{2}+\sqrt{x} \cdot \sqrt{y}+(\sqrt{y})^{2}]}$
$=\frac{x}{y} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}-\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\frac{x - y}{y(\sqrt{x}-\sqrt{y})}=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{y}$.
(2) 原式$=\frac{a+\sqrt{ab}+b-\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \div$
$\frac{a\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})-b\sqrt{b}(\sqrt{a}+\sqrt{b})-(a + b)(a - b)}{\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}=\frac{a + b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \div$
$\frac{a^{2}-a\sqrt{ab}-b\sqrt{ab}-b^{2}-a^{2}+b^{2}}{\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}=\frac{a + b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \times$
$\frac{\sqrt{ab}(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{-\sqrt{ab}(a + b)}=-\sqrt{a}+\sqrt{b}$.

1.（教材改编题）不等式$-3x + 2＞0$的解集为 （ ）
A.$\{x|x＜1$或$x＞2\}$
B.$\{x|x＞0\}$
C.$\{x|x＜\frac{2}{3}\}$
D.$\{x|x＜7\}$

答案： C[提示:由$-3x + 2＞0$得$3x - 2＜0$,解得$x＜\frac{2}{3}$,所以不等式的解集是$\left\{x \mid x＜\frac{2}{3}\right\}$]

2.在$\mathbf{R}$上定义运算$\odot:a\odot b = ab + 2a + b$，则满足$x\odot(x - 2)＞0$的实数$x$的取值范围为 （ ）
A.$\{x|0＜x＜2\}$
B.$\{x|-2＜x＜1\}$
C.$\{x|x＜-2$或$x＞1\}$
D.$\{x|-1＜x＜2\}$

答案： C[提示:由题意得$x \odot(x - 2)=x(x - 2)+2x + x - 2=x^{2}+x - 2＞0$,所以$(x + 2)(x - 1)＞0$,所以$x＜-2$或$x＞1$.]

3.（教材改编题）不等式组$\begin{cases}2x - 1\geqslant5,\\8 - 4x＜0\end{cases}$的解集在数轴上表示为 （ ）

答案： C[提示:解不等式$2x - 1\geqslant5$,得$x\geqslant3$,解不等式$8 - 4x＜0$,得$x＞2$,又$[3,+\infty)\cap(2,+\infty)=[3,+\infty)$,故不等式组的解集为$[3,+\infty)$. 在数轴上表示为![img id=1]]

4.不等式组$\begin{cases}x - 3(x - 2)\geqslant2,\\4x - 2＜5x + 1\end{cases}$的整数解有 （ ）
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个

答案： C[提示:解不等式$x - 3(x - 2)\geqslant2$,得$x\leqslant2$,解不等式$4x - 2＜5x + 1$,得$x＞-3$,$\therefore$原不等式组的解集为$\{x\mid - 3＜x\leqslant2\}$. 又$\because x$为整数,$\therefore x=-2,-1,0,1,2$.]

5.（教材改编题）不等式$1\leqslant|2x - 1|＜2$的解集为 （ ）
A.$\{x|-\frac{1}{2}＜x＜0$或$1\leqslant x\leqslant\frac{3}{2}\}$
B.$\{x|-\frac{1}{2}＜x\leqslant0$或$1\leqslant x\leqslant\frac{3}{2}\}$
C.$\{x|-\frac{1}{2}＜x\leqslant0$且$1＜x\leqslant\frac{3}{2}\}$
D.$\{x|-\frac{1}{2}＜x\leqslant0$或$1\leqslant x＜\frac{3}{2}\}$

答案： D[提示:当$2x - 1\geqslant0$,即$x\geqslant\frac{1}{2}$时,有$1\leqslant2x - 1＜2$,解得$1\leqslant x＜\frac{3}{2}$;当$2x - 1＜0$,即$x＜\frac{1}{2}$时,有$1\leqslant1 - 2x＜2$,解得$-\frac{1}{2}＜x\leqslant0$. 综上,不等式的解集为$\left\{x \mid-\frac{1}{2}＜x\leqslant0或1\leqslant x＜\frac{3}{2}\right\}$

6.（2023·辽宁昌图一中高一月考）关于$x$的不等式$|x|+|x - 1|\geqslant3$的解集是 （ ）
A.$(-\infty,-1]$
B.$[2,+\infty)$
C.$(-\infty,-1]\cup[2,+\infty)$
D.$[-1,2]$

答案： C[提示:当$x\geqslant1$时,$x + x - 1\geqslant3$,解得$x\geqslant2$;当$0＜x＜1$时,$x + 1 - x\geqslant3$,不成立;当$x\leqslant0$时,$-x + 1 - x\geqslant3$,解得$x\leqslant-1$. 综上,原不等式的解集是$(-\infty,-1]\cup[2,+\infty)$.]

1.【题型一】（2023·上海奉贤区致远高级中学高一月考）设$a,b\in\mathbf{R}$，解关于$x$的不等式$ax＞b$，下列说法正确的是 （ ）
A.该不等式的解集为$(\frac{b}{a},+\infty)$
B.该不等式的解集为$(-\infty,\frac{b}{a})$
C.该不等式的解集可能为$\varnothing$
D.该不等式的解集不可能为$\varnothing$

答案： C[提示:当$a＞0$时,$x＞\frac{b}{a}$,该不等式的解集为$\left(\frac{b}{a},+\infty\right)$;当$a＜0$时,$x＜\frac{b}{a}$,该不等式的解集为$\left(-\infty,\frac{b}{a}\right)$;当$a = 0$,$b＜0$时,该不等式的解集为$\mathbf{R}$;当$a = 0$,$b\geqslant0$时,该不等式的解集为$\varnothing$.]

2.【题型三】已知$x\in\mathbf{R}$，则“$|x + 1|+|x - 1|\leqslant2$”是“$\frac{1}{x}＞1$”的 （ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： B[提示:$|x + 1|+|x - 1|\leqslant2$,当$x＜-1$时,即$-x - 1 - x + 1\leqslant2$,则$x\geqslant-1$,此时解集为$\varnothing$,当$-1\leqslant x\leqslant1$时,即$x + 1 - x + 1\leqslant2$,则$2\leqslant2$,此时解集为$[-1,1]$,当$x＞1$时,即$x + 1+x - 1\leqslant2$,则$x\leqslant1$,此时解集为$\varnothing$,故“$|x + 1|+|x - 1|\leqslant2$”成立时,等价于$-1\leqslant x\leqslant1$;当“$\frac{1}{x}＞1$”成立时,等价于$0＜x＜1$,故$-1\leqslant x\leqslant1$成立时,不能推出$0＜x＜1$成立,反之成立,故“$|x + 1|+|x - 1|\leqslant2$”是“$\frac{1}{x}＞1$”的必要不充分条件.]

3.【题型二、三】（2023·黑龙江哈尔滨六中高二月考）若不等式$|2x - a|\leqslant x + 3$对任意$x\in[0,2]$恒成立，则实数$a$的取值范围是 （ ）
A.$(-1,3)$
B.$[-1,3]$
C.$(1,3)$
D.$[1,3]$

答案： B[提示:不等式$|2x - a|\leqslant x + 3$去掉绝对值符号得$-x - 3\leqslant2x - a\leqslant x + 3$,即$\begin{cases}-x - 3\leqslant2x - a\\2x - a\leqslant x + 3\end{cases}$,解得$\begin{cases}a\leqslant3x + 3\\a\geqslant x - 3\end{cases}$,对任意$x\in[0,2]$恒成立,只需$\begin{cases}a\leqslant(3x + 3)_{\min}\\a\geqslant(x - 3)_{\max}\end{cases}$,即$\begin{cases}a\leqslant3\\a\geqslant-1\end{cases}$,所以$a$的取值范围是$[-1,3]$.]