Question

【题目】如图,在平面直角坐标中，抛物线y=ax2－2ax－3a(a≠0)与x轴交于A、B(A在B的左侧)，与y轴交于点C,且OC=3OA.

（1）如图（1）求抛物线的解析式；

（2）如图（2）动点P从点O出发，沿y轴正方向以每秒1个单位的速度移动，点D是抛物线顶点，连接PB、PD、BD，设点P运动时间为t（单位：秒），△PBD的面积为S，求S与t的函数关系式；

（3）如图（3）在（2）的条件下，延长BP交抛物线于点Q，过点O作OE⊥BQ，垂足为E，连接CE、CB，若CE=CB，求t值，并求出此时的Q点坐标.

Answer 1

【答案】（1）y=x2－2x－3；（2）S=t+6；（3）t=；Q (， ).

【解析】试题分析：（1）令y=0，求出A、B的坐标，再由OC=3OA，得到a的值，即可得到结论；

（2）过B点作QR∥y轴，作PQ⊥DR，垂足为Q，过D点作DH∥x轴，交y轴于点H，交BR于点R．S△PDB=S矩形PQRH-(S△PQB+S△PDH+S△DBR)，代入相关数据即可得到结论；

（3）延长EO、BC相交于点F，过F作作FG⊥y轴，垂足为G，ON⊥AD，过Q作QH⊥x轴，垂足为H．可证明△FCG≌△BCO，得到CG=CO=3，FG=BO=3．在△GOF中，可得到tan∠FOG=．由∠OBE=∠FOG，得到tan∠OBE=，从而可求的t的值．

设点Q（m．m2-2m-3），则QH=m2-2m-3，BH=3-m，得到tan∠OBE= ，BH=2QH，3-m=2(m2-2m-3)，即可得到m的值，进而得到Q 的坐标．

试题解析：解：(1)令y=0，ax2－2ax－3a=0，a(x-3)(x+1)=0．∵a≠0，∴ ， ．∵A在B的左侧，∴A(-1，0)，B(3，0)．∵OC=3OA=3，∴C(0，-3)，∴-3a=-3，∴a=1，

∴抛物线为：y=x2－2x－3．

(2)如图（2）过B点作QR∥y轴，作PQ⊥DR，垂足为Q，过D点作DH∥x轴，交y轴于点H，交BR于点R．

∵D是抛物线定点，∴D(1，-4)．∵P(0，t)，B(3，0)，∴Q(3，t)，R(3，-4)，H(0，-3)，

∴PQ=3，BQ=t，BR=4，DR=2，DH=1，PH=t+4，∴S△PDB=S矩形PQRH-(S△PQB+S△PDH+S△DBR)

∴S=PH×PQ- (PQ×BQ+PH×DH+DR ×BR) =(t+4)×3- ([3×t+(t+4)×1+2×4]

∴ S=t+6．

（3）如图（3），延长EO、BC相交于点F，过F作作FG⊥y轴，垂足为G，ON⊥AD，

过Q作QH⊥x轴，垂足为H．

∵OE⊥BQ，∴∠BEF=900．∵CE=CB，∴∠BEC=∠EBC．

∵∠BEC+∠CEF=900，∠EBC+∠BFE=900，∴∠CEF=∠BFE，∴CF=CE=CB．∵FG⊥y轴，∠FGC=∠BOC=900，∠FCG=∠BCO，∴△FCG≌△BCO，∴CG=CO=3，FG=BO=3．

在△GOF中，∠FGC=900，FG=3，OG=6，∴tan∠FOG=．

∵∠BOE+∠OBE=900．，∠BOEC+∠POE=900，∴∠OBE=∠POE，∠POE=∠FOG，∴∠OBE=∠FOG，∴tan∠OBE=，∴OP= =，∴t=．

设点Q（m．m2-2m-3），则QH=m2-2m-3，BH=3-m，∴tan∠OBE= ，BH=2QH，3-m=2(m2-2m-3)，∴m1=，m2=3(舍去)，∴m=，∴Q ()．