Question

【题目】我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．

（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；

（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；

（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）四边形EFGH是菱形；（3）四边形EFGH是正方形.

【解析】分析：（1）如图1中，连接BD，根据三角形中位线定理只要证明EH∥FG，EH=FG即可．
（2）四边形EFGH是菱形．先证明△APC≌△BPD，得到AC=BD，再证明EF=FG即可．
（3）四边形EFGH是正方形，只要证明∠EHG=90°，利用△APC≌△BPD，得∠ACP=∠BDP，即可证明∠COD=∠CPD=90°，再根据平行线的性质即可证明．

详解：（1）如图1，连接BD，

∵点E、H分别为边AB、AD的中点，

∴EH∥BD、EH=BD，

∵点F、G分别为BC、DC的中点，

∴FG∥BD、FG=BD，

∴EH=FG、EH∥FG，

∴中点四边形EFGH是平行四边形；

（2）四边形EFGH是菱形，

如图2，连接AC、BD，

∵∠APB=∠CPD，

∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，即∠APC=∠BPD，

在△APC和△BPD中，

AP=BP，∠APC=∠BPD，PC=PD，

∴△APC≌△BPD（SAS），

∴AC=BD，

∵点E、F、G分别为AB、BC、CD的中点，

∴EF=AC、FG=BD，

∴EF=FG，

∵四边形EFGH是平行四边形，

∴四边形EFGH是菱形；

（3）四边形EFGH是正方形，

设AC、BD交点为O，AC与PD交于点M，AC与EH交于点N，

∵△APC≌△BPD，

∴∠ACP=∠BDP，

∵∠DMO=∠CMP，

∴∠COD=∠CPD=90°，

∵EH∥BD、AC∥HG，

∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°，

∵四边形EFGH是菱形，

∴四边形EFGH是正方形．