Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，DC=8，现将四边形BEGC沿折痕EG(G，E分别在DC，AB边上)折叠，其顶点B，C分别落在边AD上和边DC的上部，其对应点设为F，N点，且FN交DC于M．

特例体验：

(1)当FD=AF时，△FDM的周长是多少?

类比探究：

(2)当FD≠AF≠0时，△FDM的周长会发生变化吗?请证明你的猜想．

拓展延伸：

(3)同样在FD≠AF≠0的条件下，设AF为x，被折起部分(即：四边形FEGN)的面积为S，试用含x的代数式表示S，并问：当x为何值时，S=26?

Answer 1

【答案】（1）16；（2）不变，证明见解析；（3）当x=2或6时，四边形FEGN的面积为26．

【解析】

（1）如图1中，在△AEF中，设AE=x，则EF=8-x，AF=4，∠A=90°，理由勾股定理构建方程求出x，再根据△AEF∽△DFM，可得，由此即可解决问题；

（2）△FDM的周长与（1）中结论相同．证明方法与（1）类似；

（3）作GK⊥AB于K．连接BF交GE于P．由△AFB≌△KEG，可得FB=GE，由（2）可知：AE=，设AF=EK=x，AK=AE+EK=AF+AE=，根据S=，构建二次函数即可解决问题；

解：（1）在△AEF中，设AE=x，则EF=8-x，AF=4，∠A=90°，

由勾股定理，得：42﹢x2=(8-x)2，

∴x=3，

∴AE=3，EF=5．

∴△AEF的周长为12，

如图，

∵∠MFE=90°，

∴∠DFM+∠AFE=90°

又∵∠A=∠D=90，∠AFE=∠DMF，

∴△AEF∽△DFM，

∴==，

∴△FDM的周长为16；

（2）△FDM的周长不会发生变化；

理由：如下图，

设AF=x，EF=8-AE，x2+AE2=（8-AE）2，

∴AE=，

∵△AEF∽△DFM，

∴，

∴△FMD的周长：．

（3）如图，作GK⊥AB于K．连接BF交GE于P．

∵B、F关于GE对称，

∴BF⊥EG，

∴∠FBE=∠KGE，

在正方形ABCD中，GK=BC=AB，∠A=∠EKG=90°，

∴△AFB≌△KEG，

∴FB=GE，

由（2）可知：AE=，

∴AF=EK=x，AK=AE+EK=AF+AE=，

∴梯形AEGD的面积为：，

∴，

当S=26时，有

，

解得：x=2或x=6，

∴当x=2或6时，四边形FEGN的面积为26．