Question

【题目】如图，在△ABC中，DA⊥AB，AD＝AB，EA⊥AC，AE＝AC．

（1）试说明△ACD≌△AEB；

（2）若∠ACB＝90°，连接CE，

①说明EC平分∠ACB；

②判断DC与EB的位置关系，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；

【解析】

（1）利用垂直证明∠DAC=∠EAB,即可证明全等；

（2）①根据AE＝AC，∠ACB＝90°，可得∠ACE=∠BCE=45°；

②延长DC交EB于F,先求出∠D=∠ABE，得到∠D+∠BAE+∠AEB=180°，再根据∠D+∠BAD+∠AEB+∠BAE＋∠F=360°,求出∠F即可.

（1）∵DA⊥AB，EA⊥AC

∴∠DAB=∠CAE=90°

∴∠DAC+∠CAB=∠BAE+∠CAB

∴∠DAC=∠EAB

∵AD＝AB，AE＝AC

∴△ACD≌△AEB；

（2）①连接CE，∵DC⊥EB

∵EA⊥AC，AE＝AC

∴∠ACE=∠CEA=45°

∵∠ACB＝90°

∴∠BCE=45°=∠ACE

∴EC平分∠ACB

②延长DC交EB于F,

∵△ACD≌△AEB

∴∠D=∠ABE

∵∠ABE+∠BAE+∠AEB=180°

∴∠D+∠BAE+∠AEB=180°

∵∠D+∠BAD+∠AEB+∠BAE＋∠F=360°

∴∠D+∠BAE+∠AEB+∠BAD＋∠F=360°

∴180°+90°＋∠F=360°

∴∠F=90°

∴DC⊥EB