Question

【题目】已知：二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值；

（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点E，使B、D、E、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的E点坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+2x﹣3；（2）；（3）E1（﹣1，0），E2（3，0），E3，E4．

【解析】试题分析：（1）将A、D的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值．

（2）根据抛物线的解析式即可得到其对称轴及B点的坐标，由于A、B关于抛物线对称轴对称，连接BD，BD与抛物线对称轴的交点即为所求的P点，那么PA+PD的最小值即为BD的长，根据B、D的坐标，即可用勾股定理（或坐标系两点间的距离公式）求出BD的长，也就求得了PA+PD的最小值．

（3）此题可分作两种情况考虑：

①BE∥DG；根据抛物线的解析式可求得C点坐标，可得C、D关于抛物线对称轴对称，即C、D的纵坐标相同，所以CD∥x轴，那么C点就是符合条件的G点，易求得CD的长，根据平行四边形的性质知BE=CD，由此可得到BE的长，将B点坐标向左或向右平移CD个单位即可得到两个符合条件的E点坐标；

②BD∥EG；根据平行四边形的性质知，此时G、D的纵坐标互为相反数，由此可求得G点的纵坐标，将其代入抛物线的解析式中即可求得G点的坐标；那么将G点的横坐标减去3（B、D横坐标差的绝对值），即可得到两个符合条件的E点坐标；

综上所述，得到符合条件的E点坐标．

试题解析：解：（1）将A（﹣3，0），D（﹣2，﹣3）代入y=x2+bx+c，得：

，解得： ；

∴抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3．

（2）由：y=x2+2x﹣3得：

对称轴为： ，

令y=0，则：x2+2x﹣3=0，

∴x1=﹣3，x2=1，

∴点B坐标为（1，0），

而点A与点B关于x=﹣1对称，

∴连接BD与对称轴的交点即为所求的P点．

过点D作DF⊥x轴于点F，则：DF=3，BF=1﹣（﹣2）=3，

在Rt△BDF中，BD=，

∵PA=PB，

∴PA+PD=PB+PD=BD=，

即PA+PD的最小值为．

（3）存在符合条件的点E，

①在y=x2+2x﹣3中，令x=0，则有：y=﹣3，故点C坐标为（0，﹣3），

∴CD∥x轴，

∴在x轴上截取BE1=BE2=CD=2，得BCDE1和BDCE2，

此时：点C与点G重合，E1（﹣1，0），E2（3，0）．

②∵BF=DF=3，∠DFB=90°，

∴∠FBD=45°，

当G3E3∥BD且相等时，有G3E3DB，作G3N⊥x轴于点N，

∵∠G3E3B=∠FBD=45°，∠G3NE3=90°，G3E3=BD=，

∴G3N=E3N=3；

将y=3代入y=x2+2x﹣3

得： ，

∴E3的坐标为： ，

即，

同理可得：E4，

综上所述：存在这样的点E，所有满足条件的E点坐标为：

E1（﹣1，0），E2（3，0），

E3，E4．