Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°．在△ABC的外侧作直线AP，点C关于直线AP的对称点为D，连接AD，BD．

（1）依据题意补全图形；

（2）当∠PAC等于多少度时，AD∥BC？请说明理由；

（3）若BD交直线AP于点E，连接CE，求∠CED的度数；

（4）探索：线段CE，AE和BE之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）30°；（3）120（4）

【解析】

（1）根据题意画出图形即可；

（2）连接CD，交AP于CD于F,因为AD∥BC，所以∠C=∠CAD,由对称可得AC=AD,CF=FD,AF⊥CD,所以AP平分∠CAD,即可求解.

（3）AD=AC，∠DAP=∠CAP，∠DEP=∠PEC,求出AB=AC=AD，得到∠ABE=∠D，在△ABE中，得∠ABE＋∠AEB＋∠BAE=180°，得到∠D＋∠CAE＋60°＋∠D＋∠CAE =180°，求出∠D＋∠CAE=60°，证明∠DEP=60°，即可求解；

（4）CE ＋AE＝BE，如图，在BE上取点M使ME＝AE，连接AM，设∠EAC＝∠DAE＝x，求得∠AEB＝60°，从而得到△AME为等边三角形，根据等边三角形的性质和SAS即可判定△AEC≌△AMB，根据全等三角形的性质可得CE＝BM，由此即可证得CE＋AE＝BE．

（1）

（2）连接CD，交AP于F,

∵AB＝AC，∠BAC＝60°

∴等边三角形ABC

∴∠BCA=60°

∵AD∥BC

∴∠BCA=60°=∠DAC

由对称可得AC=AD,CF=FD,AF⊥CD

∴AP平分∠CAD

∴∠PAC=30°

（3）由对称可得AD=AC，∠DAE=∠CAE，∠DEP=∠PEC

∵等边三角形ABC

∴AB=AC=AD

∴∠ABE=∠D

∵△ABE

∴∠ABE＋∠AEB＋∠BAE=180°

∴∠ABE＋∠AEB＋∠BAC＋∠CAE=180°

∴∠D＋∠CAE＋60°＋∠D＋∠CAE =180°

∴∠D＋∠CAE=60°

∴∠DEP=60°

∴∠DEC=120°；

（4）CE＋AE＝BE．

在BE上取点M使ME＝AE，连接AM，

在等边△ABC中，

AC＝AB，∠BAC＝60°

由对称可知：AC＝AD，∠EAC＝∠EAD，

设∠EAC＝∠DAE＝x．

∵AD＝AC＝AB，

∴∠D=60°-x

∴∠AEB＝60－x＋x＝60°．

∴△AME为等边三角形．

∴AM=AE，∠MAE=60°，

∴∠BAC=∠MAE=60°，

即可得∠BAM=∠CAE.

在△AMB和△AEC中，AB=AC,∠BAM=∠CAE, AM=AE，

∴△AMB≌△AEC.

∴CE＝BM.

∴CE＋AE＝BE．