Question

【题目】三角形ABC的三条内角平分线为AE，BF，CG，下面的说法中正确的个数有（ ）
①△ABC的内角平分线上的点到三边距离相等
②三角形的三条内角平分线交于一点
③三角形的内角平分线位于三角形的内部
④三角形的任一内角平分线将三角形分成面积相等的两部分．
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

Answer 1

【答案】B
【解析】解：

∵设O为∠BAC的角平分线和∠ACB的角平分线的交点，过O作ON⊥AB于N，OM⊥BC于M，OQ⊥AC于Q，
∴ON=OQ，OQ=OM，
∴ON=OM=OQ，
∴△ABC的三个内角的角平分线的交点到三角形三边的距离相等，∴①错误；
∵ON⊥AB，OM⊥BC，ON=OM，
∴O在∠ABC的角平分线上，
即O是△ABC的三个角的平分线交点，∴②正确；
∵三角形的三个内角的平分线都在三角形的内部，∴③正确；
∵三角形的任意中线把三角形的面积分为面积相等的两部分，而三角形的任意角平分线不一定把三角形的面积分成面积相等的两部分，∴④错误；
故选B．
【考点精析】关于本题考查的三角形的“三线”和角平分线的性质定理，需要了解1、三角形角平分线的三条角平分线交于一点(交点在三角形内部，是三角形内切圆的圆心，称为内心);2、三角形中线的三条中线线交于一点(交点在三角形内部，是三角形的几何中心，称为中心);3、三角形的高线是顶点到对边的距离；注意：三角形的中线和角平分线都在三角形内；定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 定理2：一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上才能得出正确答案．