Question

【题目】如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形，E是CD的中点，D1E⊥CD，AB=2BC=2．
（1）求证：BC⊥D1E；
（2）若平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为 ，求线段D1E的长度．

Answer 1

【答案】
（1）解：证明：∵底面ABCD和侧面BCC1B1是矩形，∴BC⊥CD，BC⊥CC1，

又∵CD∩CC1=C，∴BC⊥平面DCC1D1，

∵D1E平面DCC1D1，∴BC⊥D1E；

（2）解：由（1）可知BC⊥D1E，

又∵D1E⊥CD，且BC∩CD=C，

∴D1E⊥平面ABCD．

设G为AB的中点，以E为原点，EG，EC，ED1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图．

则E（0，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），G（1，0，0）．

设D1E=a，则D1（0，0，a），B1（1，2，a）．

设平面BED1的一个法向量为 =（x，y，z），

=（1，1，0）， =（0，0，a），

由 ，令x=1，得 =（1，﹣1，0）；

设平面BCC1B1的一个法向量为 =（x1，y1，z1），

=（1，0，0）， =（﹣1，1，a），

由 ，令z1=1，得 =（0，﹣a，1）．

由平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为 ，

得|cos＜ ＞|=| =|cos = ，解得a=1．

∴D1E=1．

【解析】（1）由已知底面ABCD和侧面BCC1B1是矩形，可得BC⊥CD，BC⊥CC1 ， 由线面垂直的判定可得BC⊥平面DCC1D1 ， 进一步得到BC⊥D1E；（2）由（1）可知BC⊥D1E，结合D1E⊥CD，可得D1E⊥平面ABCD．设G为AB的中点，以E为原点，EG，EC，ED1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出平面BED1的一个法向量与平面BCC1B1的一个法向量，由平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为 列式求得a值，则线段D1E的长度可求．
【考点精析】通过灵活运用空间中直线与直线之间的位置关系，掌握相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点即可以解答此题．