Question

【题目】已知数列{an}的首项a1=4，当n≥2时，an﹣1an﹣4an﹣1+4=0，数列{bn}满足bn=
（1）求证：数列{bn}是等差数列，并求{bn}的通项公式；
（2）若cn=4bn（nan﹣6），如果对任意n∈N* ， 都有cn+ t≤2t2 ， 求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）证明：当n≥2时，bn﹣bn﹣1= ﹣ = ，

由于an﹣1an﹣4an﹣1+4=0，

所以bn﹣bn﹣1=﹣ ，即数列{bn}是等差数列，

又因为b1= =﹣ ，

所以bn= +（n﹣1）（ ）=﹣

（2）由（1）及bn=bn= 可知an= +2，

所以cn=4bn（nan﹣6）= （2n﹣4），

由单调性可知：﹣1≤cn≤ ，

令y=cn+ t﹣2t2，则y是关于cn的一次函数，且单调递增，

所以当cn= 时y≤0即可，

所以 + t﹣2t2≤0，解得：t≤﹣ 或t≥ ，

故实数t的取值范围是：（﹣∞，﹣ ]∪[ ，+∞）

【解析】（1）通过作差可知bn﹣bn﹣1= ，结合an﹣1an﹣4an﹣1+4=0可知bn﹣bn﹣1=﹣ ，进而利用数列{bn}是等差数列即可求出通项公式；（2）通过（1）及bn=bn= 可知an= +2，进而可知cn= （2n﹣4），结合单调性可知﹣1≤cn≤ ，将y=cn+ t﹣2t2看作是关于cn的一次函数，结合其单调递增可知当cn= 时y≤0即可，进而问题转化为解不等式 + t﹣2t2≤0，计算即得结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的通项公式的相关知识，掌握如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．