Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于M，交AC于N．

（1）若∠ABC=70°，则∠MNA的度数是__．

（2）连接NB，若AB=8cm，△NBC的周长是14cm．

①求BC的长；

②在直线MN上是否存在P，使由P、B、C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】50°．

【解析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=70°，求得∠A=40°，根据线段的垂直平分线的性质得出AN=BN，进而得出∠ABN=∠A=40°，根据三角形的内角和定理可得出∠ANB=100°，根据等腰三角形三线合一就可求得∠MNA=50°；

（2）①根据△NBC的周长=BN+CN+BC=AN+NC+BC就可求得.

②根据对称轴的性质，即可判定P就是N点，所以△PBC的周长最小值就是△NBC的周长.

解：（1）∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=70°，

∴∠A=40°，

∵MN是AB的垂直平分线，

∴AN=BN，

∴∠ABN=∠A=40°，

∴∠ANB=100°，

∴∠MNA=50°；

故答案为50°．

（2）①∵AN=BN，

∴BN+CN=AN+CN=AC，

∵AB=AC=8cm，

∴BN+CN=8cm，

∵△NBC的周长是14cm．

∴BC=14﹣8=6cm．

②∵A、B关于直线MN对称，

∴连接AC与MN的交点即为所求的P点，此时P和N重合，

即△BNC的周长就是△PBC的周长最小值，

∴△PBC的周长最小值为14cm．