Question

【题目】如图，在矩形中，平分交于点，给出以下结论：①为等腰直角三角形；②为等边三角形；③；④⑤是的中位线．其中正确的结论有（ ）

A.个B.个C.个D.个

Answer 1

【答案】B

【解析】

由矩形的性质可得AO＝CO＝DO＝BO，∠DAB＝∠ABC＝∠DCB＝∠CDA＝90°，AD∥BC，AB∥CD，由角平分线的性质和平行线的性质可判断①，由锐角三角函数可求∠ACD＝30°，即可判断②，由三角形内角和定理可求∠DOE的度数，即可判断③④，由直角三角形的性质可求CE的长，即可判断⑤．

∵四边形ABCD是矩形

∴AO＝CO＝DO＝BO，∠DAB＝∠ABC＝∠DCB＝∠CDA＝90°，AD∥BC，AB∥CD

∵AE平分∠BAD

∴∠DAE＝∠EAB＝45°

∵AB∥CD

∴∠DEA＝∠EAB＝45°

∴∠DEA＝∠DAE＝45°

∴AD＝DE，且∠ADE＝90°

∴△ADE是等腰直角三角形

故①正确

∵AD＝AC，∠ADC＝90°

∴∠ACD＝30°

∴∠OCB＝60°，且OB＝OC

∴△OBC是等边三角形

故②正确

∵△OBC是等边三角形

∴OB＝OC＝BC

∴OD＝OA＝AD＝OC＝OB

∴∠ODA＝∠OAD＝∠DOA＝60°，∠OCD＝∠ODC＝30°，且OD＝DE

∴∠DOE＝=75°

故③错误

∵∠EAC＝∠OAD∠DAE＝15°，∠EOC＝∠DOC∠DOE＝180°∠DOA75°＝120°75°＝45°

∴∠EOC＝3∠EAC

故④正确

∵∠ACD＝30°，

∴AD=AC，AC=2AD

∴CD==AD，且DE＝DO＝AD

∴CE＝ADAD≠DE

∴OE不是△ACD的中位线,

故⑤错误

故选：B．