Question

【题目】如图①，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为 ，C的坐标为 ，直角顶点B在第四象限，线段AC与x轴交于点D.将线段DC绕点D逆时针旋转90°至DE.

（1）直接写出点B、D、E的坐标并求出直线DE的解析式.
（2）如图②，点P以每秒1个单位的速度沿线段AC从点A运动到点C的过程中，过点P作与x轴平行的直线PG，交直线DE于点G，求与△DPG的面积S与运动时间t的函数关系式，并求出自变量t的取值范围.

（3）如图③，设点F为直线DE上的点，连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FE以每秒 个单位的速度运动到E后停止.当点F的坐标是多少时，是否存在点M在整个运动过程中用时最少？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得：B(4,-1),D(1,0).E(-2,3)

设直线DE为

把D(1,0).E(-2,3)代入得

解之得：

∴直线DE为：

（2）解：在Rt△ABC中，由

，

由

同理可得：

由题意可知： ，∠DPG=∠DAB=45°

∴△DPG为等腰直角三角形

①当 时

∴

②当 时，

易得

综上： （ ）

（3）解：如图③，易得∠EDO=45°．

过点E作EK∥x轴交 轴于H，则∠KEF=∠EDO=45°．

过点F作FG⊥EK于点G，则FG=EG= ．

由题意，动点M运动的路径为折线AF+EF，运动时间：

，

∴ ，即运动时间等于折线AF+FG的长度．

由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为EK与线段AB之间的垂线段．

则t最小=AH，AH与 轴的交点，即为所求之F点．

∵直线DE解析式为：

∴F（0，1）．

综上所述，当点F坐标为（0，1）时，点M在整个运动过程中用时最少

【解析】（1）根据坐标的定义结合题意可得B、D、E的坐标，利用待定系数法即可求出直线DE的解析式即可。
（2）先根据勾股定理分别求出AC、AD的长，再证明△DPG为等腰直角三角形，得出 s=DP2 .分两种情况：①当 0 ≤ t ≤ 时；②当 < t ≤ 4 时，分别求出DP的长，即可得出结果。
（3）过点E作EK∥x轴交y轴于H，则∠KEF=∠EDO=45°．过点F作FG⊥EK于点G，则FG=EG=EF，由题意，动点M运动的路径为折线AF+EF，运动时间：t=AF+EF，推出t=AF+FG，即运动时间等于折线AF+FG的长度，由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为EK与线段AB之间的垂线段．则t最小=AH，直线DE与y轴的交点即为所求之F点。